半順序集合のメビウス関数

7 個の元からなる集合 $P=\{\hat{0},a,b,c,d,e,\hat{1}\}$ に、次の被覆関係（$x⋖y$ は「$y$ は $x$ のすぐ上にある」を表す）から生成される半順序 $\le$ を入れる。
$$\hat{0}⋖a,\hat{0}⋖b,\hat{0}⋖c,\hat{0}⋖d,a⋖e,b⋖e,c⋖\hat{1},d⋖\hat{1},e⋖\hat{1}$$
すなわち、$x\le y$ となるのは $x=y$ であるか、$x$ から $y$ へ被覆関係をたどって上がれるときである。$P$ のメビウス関数 $\mu$ を
$$\mu (x,x)=1,\mu (x,y)=-\sum _{x\le z<y}\mu (x,z)(x<y)$$
で定めるとき、$\mu (\hat{0},\hat{1})$ を求めよ。

$[5]=\{1,2,3,4,5\}$ とし、$[5]$ の部分集合のうち要素の個数が $0,1,4,5$ のいずれかであるもの全体を
$$P=\{S\subseteq [5]:|S|\in \{0,1,4,5\}\}$$
とおく。$P$ に包含関係 $\subseteq$ で半順序を入れる。$P$ のメビウス関数 ${\mu }_P$ について、${\mu }_P(\varnothing ,[5])$ の値を求めよ。

集合 $\{1,2,\dots ,12\}$ に、新しい元 $\hat{1}$ を 1 つ付け加えた集合を $P=\{1,2,\dots ,12\}\cup \{\hat{1}\}$ とする。$P$ に次の半順序 ${\le }_P$ を入れる。
- $a,b\in \{1,\dots ,12\}$ に対しては、$a{\le }_{P}b⟺a$ は $b$ を割り切る
- すべての $x\in P$ に対して $x{\le }_P\hat{1}$

$P$ のメビウス関数を ${\mu }_P$ とするとき、${\mu }_P(1,\hat{1})$ を求めよ。

頂点集合 $\{1,2,3,4\}$ をもち、辺集合が $\{12,13,23,24,34\}$ である単純グラフを $G$ とする（$K_4$ から辺 $14$ を除いたグラフ）。$\{1,2,3,4\}$ の集合分割 $\pi$ のうち、$\pi$ のどのブロック $B$ についても $B$ が誘導する $G$ の部分グラフが連結であるもの全体を $L_G$ とする（要素が 1 個のブロックは連結とみなす）。$L_G$ に細分による半順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のあるブロックに含まれる）を入れる。$L_G$ の最小元 $\hat{0}=\{1\}\{2\}\{3\}\{4\}$ と最大元 $\hat{1}=\{1,2,3,4\}$ に対し、メビウス関数の値 ${\mu }_{L_G}(\hat{0},\hat{1})$ を求めよ。ただしメビウス関数は $\mu (x,x)=1$、$x<y$ のとき $\mu (x,y)=-{\sum }_{x\le z<y}\mu (x,z)$ で定める。

有限アーベル群 $G=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ の部分群全体を包含関係で順序づけた半順序集合（部分群束）を $L(G)$ とし、$\mu$ を $L(G)$ のメビウス関数とする。$$S=\sum _{H\in L(G)}\mu (H,G)|H{|}^2$$ の値を求めよ。ただし $|H|$ は部分群 $H$ の位数を表す。

位数 $12$ の二面体群
$$G=⟨r,s\mid r^6=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える（正六角形の合同変換全体のなす群）。$G$ の部分群全体を包含関係で順序づけた半順序集合（部分群束）を $L(G)$ とし、その最小元は自明な部分群 $1=\{e\}$、最大元は $G$ である。$L(G)$ のメビウス関数を $\mu$ とするとき、$\mu (1,G)$ の値を求めよ。

集合 $\{1,2,\dots ,30\}$ に整除関係による順序（$a\le b⟺a\mid b$）を入れた半順序集合に、すべての元より大きい新しい元 $\hat{1}$ を最大元として付け加えた半順序集合を $P$ とする。$P$ のメビウス関数を ${\mu }_P$ とするとき、${\mu }_P(1,\hat{1})$ の値を求めよ。

$q$ を素数べきとし、${\mathbb{F}}_q$ を $q$ 元からなる有限体とする。${\mathbb{F}}_q$ の元を成分とする $3\times 3$ 正則行列全体を $G{L}_3({\mathbb{F}}_q)$ とする。$g\in G{L}_3({\mathbb{F}}_q)$ のうち、$gv=v$ を満たす零でないベクトル $v\in {\mathbb{F}}_q^3$ が存在しないもの（すなわち $1$ を固有値にもたないもの）の個数を、$q$ の多項式として求めよ。

$[8]=\{1,2,\dots ,8\}$ の集合分割のうち、すべてのブロックの要素の個数が偶数であるもの全体を ${\Pi }_8^e$ とする。${\Pi }_8^e$ に細分による順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のいずれかのブロックに含まれる）を入れ、さらにすべての元より小さい最小元 $\hat{0}$ を新たに付け加えた半順序集合を $\hat{P}={\Pi }_8^e\cup \{\hat{0}\}$ とする。$\hat{P}$ の最大元を $\hat{1}=\{[8]\}$（ブロックが $[8]$ ただ 1 つの分割）とするとき、$\hat{P}$ のメビウス関数の値 $\mu (\hat{0},\hat{1})$ を求めよ。

$n$ を $0$ 以上の整数とし、$[n]=\{1,2,\dots ,n\}$（$[0]=\varnothing$）とする。$[n]$ の部分集合のうち、要素の個数が偶数であるものすべてからなる集合
$$P_n=\{S\subseteq [n]:|S|\text{ は偶数}\}$$
を包含関係 $\subseteq$ で順序づけた有限半順序集合を考える（$\varnothing \in P_n$ である）。$P_n$ のメビウス関数 $\mu$ は、$S\subseteq T$ をみたす $S,T\in P_n$ に対して
$$\mu (S,S)=1,\sum _{U\in P_n,S\subseteq U\subseteq T}\mu (S,U)=0(S⊊T)$$
で定める。

また、有理数係数の形式的冪級数環 $\mathbb{Q}[[x]]$ において $\cos x={\sum }_{i\ge 0}\frac{(-1{)}^i{x}^{2i}}{(2i)!}$ とし、その逆元を
$$\sec x=\frac{1}{\cos x}=\sum _{m\ge 0}{E}_{2m}\frac{x^{2m}}{(2m)!}$$
と書く（$\cos x$ の定数項は $1$ なので逆元が存在し、それが偶数次の項のみからなることは用いてよい）。

$S\subseteq T$ をみたす任意の $S,T\in P_n$ に対して、$|T\setminus S|$ は偶数であり、
$$\mu (S,T)=(-1{)}^{|T\setminus S|/2}{E}_{|T\setminus S|}$$
が成り立つことを証明せよ。