代数的組合せ論の問題

メビウス関数は $\mu (\hat{0},\hat{0})=1$, $\mu (\hat{0},x)=-{\sum }_{\hat{0}\le y<x}\mu (\hat{0},y)$ で定まる。$\mu (x):=\mu (\hat{0},x)$ と略記し、${\Pi }_8^e$ の元をブロックの大きさの型で分類して下から計算する。

各型の個数
- 型 $(2,2,2,2)$（完全マッチング）：$7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=105$ 個
- 型 $(4,2,2)$：$4$ 元ブロックの選び方 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)=70$、残り $4$ 元を $2$ 組に分ける方法 $3$ で $210$ 個
- 型 $(4,4)$：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)/2=35$ 個
- 型 $(6,2)$：$2$ 元ブロックの選び方 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=28$ 個
- 型 $(8)$：$\hat{1}$ の $1$ 個

$\mu$ の計算
- 型 $(2,2,2,2)$：$\hat{0}$ の直上なので $\mu =-1$。
- 型 $(4,2,2)$：下にあるのは $\hat{0}$ と、$4$ 元ブロックを $2$ 組に分けたマッチング $3$ 個。$\mu =-(1-3)=2$。
- 型 $(4,4)$：下にあるのは $\hat{0}$、マッチング $3\times 3=9$ 個、片方の $4$ 元ブロックだけを $2$ 組に分けた型 $(4,2,2)$ の元 $2\times 3=6$ 個。$\mu =-(1-9+6\cdot 2)=-4$。
- 型 $(6,2)$：$6$ 元ブロックの偶数分割を考える。下にあるのは $\hat{0}$、マッチング $15$ 個（$6$ 元の完全マッチング $5\cdot 3\cdot 1=15$）、$6$ 元ブロックを $4+2$ に分けた型 $(4,2,2)$ の元 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ 個。$\mu =-(1-15+15\cdot 2)=-16$。
- $\hat{1}$：$\hat{P}$ の $\hat{1}$ 以外の全元について和をとると
$$1+105\cdot (-1)+210\cdot 2+35\cdot (-4)+28\cdot (-16)=1-105+420-140-448=-272.$$
よって $\mu (\hat{0},\hat{1})=272$。

（参考：一般に ${\mu }_{\widehat{{\Pi }_{2n}^e}}(\hat{0},\hat{1})=(-1{)}^n{E}_{2n-1}$（$E_{2n-1}$ は正接数 $1,2,16,272,\dots$）が知られており、$n=4$ の値と一致する。）

メビウス関数の性質 ${\sum }_{x\in \hat{P}}\mu (x,\hat{1})=0$ より $\mu (\hat{0},\hat{1})=-{\sum }_{\sigma \in {\Pi }_8^e}\mu (\sigma ,\hat{1})$。

$\sigma \in {\Pi }_8^e$ がブロックを $k$ 個もつとき、区間 $[\sigma ,\hat{1}]$ は「$\sigma$ のブロックの集合の分割」全体と同型である（偶数サイズのブロックの和集合は偶数サイズなので、どの併合も ${\Pi }_8^e$ に属する）。よって $[\sigma ,\hat{1}]\cong {\Pi }_k$（通常の分割束）で、$\mu (\sigma ,\hat{1})=(-1{)}^{k-1}(k-1)!$。

すべてのブロックが偶数サイズの $[8]$ の分割で、ブロック数 $k$ のものの個数 $N_k$:
- $k=1$: $1$
- $k=2$: 型 $(2,6)$ が $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=28$、型 $(4,4)$ が $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)/2=35$ で計 $63$
- $k=3$: 型 $(4,2,2)$ のみ。$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)\cdot 3=210$
- $k=4$: 型 $(2,2,2,2)$ で $7!!=105$

${\sum }_{\sigma }\mu (\sigma ,\hat{1})=1\cdot 1-1\cdot 63+2\cdot 210-6\cdot 105=1-63+420-630=-272$。

ゆえに $\mu (\hat{0},\hat{1})=272$。

検算: 同じ方法で ${\Pi }_4^e$（$\{1234\}$ と 3 個の完全マッチング）では $\sum =1-3=-2$ より $\mu =2$、${\Pi }_6^e$ では $k=1:1$, $k=2$: $(2,4)$ の $15$ 個, $k=3$: $15$ 個なので $1-15+2\cdot 15=16$。$2,16,272$ は正接数であり、$n=8$ の結果 $272$ と整合する。