ブール束・約数束・分割束のメビウス関数

鎖と直積から: ブール束と約数束. 長さ $a$ の鎖 $0<1<\cdots <a$ では定義から $\mu (0,0)=1$、$\mu (0,1)=-1$、$j\ge 2$ のとき $\mu (0,j)=-{\sum }_{i<j}\mu (0,i)=-(1-1)=0$ です。区間 $[S,T]$ のブール束は、$T\setminus S$ の各元を「入れる・入れない」で選ぶので、2 元鎖 $\{0<1\}$ の $k=|T\setminus S|$ 個の直積と同型です。直積の積公式から $\mu (S,T)=(-1{)}^k$。約数束の区間 $[m,n]$（$m\mid n$）は $d\mapsto d/m$ で $[1,n/m]$ と同型で、$n/m=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$ なら $[1,n/m]$ は長さ $a_1,\dots ,a_r$ の鎖の直積と同型です（約数 $p_1^{b_1}\cdots p_r^{b_r}$ を指数の組 $(b_1,\dots ,b_r)$ に対応させる）。積公式より $\mu (m,n)={\prod }_i{\mu }_{\text{鎖}}(0,a_i)$ で、これはすべての $a_i\le 1$ のとき $(-1{)}^r$、ある $a_i\ge 2$ のとき $0$。これはちょうど数論的メビウス関数 $\mu (n/m)$ の定義です。

集合分割の束. ${\Pi }_n$ は $\{1,\dots ,n\}$ の集合分割全体で、$\sigma \le \tau$ を「$\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のあるブロックに含まれる（$\sigma$ が $\tau$ の細分）」で定めます。最小元 $\hat{0}$ は全部ばらばら、最大元 $\hat{1}$ は 1 ブロックです。$x$ を正の整数とし、写像 $\varphi :\{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,x\}$ に「$\varphi (i)=\varphi (j)$ となる $i,j$ を同じブロックに入れた分割」$\ker \varphi$ を対応させます。$f(\tau )=\#\{\varphi :\ker \varphi =\tau \}$、$g(\sigma )=\#\{\varphi :\ker \varphi \ge \sigma \}$ とおくと、$g(\sigma )={\sum }_{\tau \ge \sigma }f(\tau )$ です。$\ker \varphi \ge \sigma$ は「$\varphi$ が $\sigma$ の各ブロック上で一定」と同じなので $g(\sigma )=x^{|\sigma |}$（$|\sigma |$ はブロック数）、$\ker \varphi =\tau$ は「$\tau$ のブロックに相異なる値を割り当てる」ことなので $f(\tau )=x(x-1)\cdots (x-|\tau |+1)$ です。メビウス反転公式を上向きに使う形（順序を逆にした半順序集合に前提の公式を適用したもの）$f(\sigma )={\sum }_{\tau \ge \sigma }\mu (\sigma ,\tau )g(\tau )$ を $\sigma =\hat{0}$ で使うと
$$x(x-1)\cdots (x-n+1)=\sum _{\tau \in {\Pi }_n}\mu (\hat{0},\tau )x^{|\tau |}.$$
両辺は $x$ の多項式で無限個の $x$ で一致するので係数が等しく、$x^1$ の係数を比べます。右辺で $|\tau |=1$ となるのは $\tau =\hat{1}$ だけなので、$\mu (\hat{0},\hat{1})=$ 左辺の $x$ の係数 $=(-1)(-2)\cdots (-(n-1))=(-1{)}^{n-1}(n-1)!$ です。

一般の区間. ${\Pi }_n$ の区間 $[\sigma ,\tau ]$ では、$\tau$ の各ブロック $B_i$ が $\sigma$ のブロック $k_i$ 個からなるとすると、$\sigma$ と $\tau$ の間の分割は「各 $B_i$ の中で $\sigma$ のブロックたちをどうまとめるか」を独立に選ぶことなので、$[\sigma ,\tau ]\cong {\Pi }_{k_1}\times \cdots \times {\Pi }_{k_s}$ です。よって $\mu (\sigma ,\tau )={\prod }_i(-1{)}^{k_i-1}(k_i-1)!$ となります。