代数的組合せ論の問題

集合 $\{1,2,\dots ,12\}$ に、新しい元 $\hat{1}$ を 1 つ付け加えた集合を $P=\{1,2,\dots ,12\}\cup \{\hat{1}\}$ とする。$P$ に次の半順序 ${\le }_P$ を入れる。
- $a,b\in \{1,\dots ,12\}$ に対しては、$a{\le }_{P}b⟺a$ は $b$ を割り切る
- すべての $x\in P$ に対して $x{\le }_P\hat{1}$

$P$ のメビウス関数を ${\mu }_P$ とするとき、${\mu }_P(1,\hat{1})$ を求めよ。

$[8]=\{1,2,\dots ,8\}$ の集合分割のうち、すべてのブロックの要素の個数が偶数であるもの全体を ${\Pi }_8^e$ とする。${\Pi }_8^e$ に細分による順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のいずれかのブロックに含まれる）を入れ、さらにすべての元より小さい最小元 $\hat{0}$ を新たに付け加えた半順序集合を $\hat{P}={\Pi }_8^e\cup \{\hat{0}\}$ とする。$\hat{P}$ の最大元を $\hat{1}=\{[8]\}$（ブロックが $[8]$ ただ 1 つの分割）とするとき、$\hat{P}$ のメビウス関数の値 $\mu (\hat{0},\hat{1})$ を求めよ。

位数 $12$ の二面体群
$$G=⟨r,s\mid r^6=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える（正六角形の合同変換全体のなす群）。$G$ の部分群全体を包含関係で順序づけた半順序集合（部分群束）を $L(G)$ とし、その最小元は自明な部分群 $1=\{e\}$、最大元は $G$ である。$L(G)$ のメビウス関数を $\mu$ とするとき、$\mu (1,G)$ の値を求めよ。

有限アーベル群 $G=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ の部分群全体を包含関係で順序づけた半順序集合（部分群束）を $L(G)$ とし、$\mu$ を $L(G)$ のメビウス関数とする。$$S=\sum _{H\in L(G)}\mu (H,G)|H{|}^2$$ の値を求めよ。ただし $|H|$ は部分群 $H$ の位数を表す。

頂点集合 $\{1,2,3,4\}$ をもち、辺集合が $\{12,13,23,24,34\}$ である単純グラフを $G$ とする（$K_4$ から辺 $14$ を除いたグラフ）。$\{1,2,3,4\}$ の集合分割 $\pi$ のうち、$\pi$ のどのブロック $B$ についても $B$ が誘導する $G$ の部分グラフが連結であるもの全体を $L_G$ とする（要素が 1 個のブロックは連結とみなす）。$L_G$ に細分による半順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のあるブロックに含まれる）を入れる。$L_G$ の最小元 $\hat{0}=\{1\}\{2\}\{3\}\{4\}$ と最大元 $\hat{1}=\{1,2,3,4\}$ に対し、メビウス関数の値 ${\mu }_{L_G}(\hat{0},\hat{1})$ を求めよ。ただしメビウス関数は $\mu (x,x)=1$、$x<y$ のとき $\mu (x,y)=-{\sum }_{x\le z<y}\mu (x,z)$ で定める。