代数的組合せ論の問題

メビウス関数は $\mu (H,H)=1$、$H<K$ のとき $\mu (H,K)=-{\sum }_{H\le M<K}\mu (H,M)$ で定まる。まず $G$ の部分群をすべて求める。

$G$ の元は $r^k$ と $r^{k}s$（$k=0,1,\dots ,5$）の $12$ 個である。$r^{k}s$ はすべて位数 $2$、回転 $r^k$ の位数は $6/\gcd (k,6)$ である。

• 位数 $1$: $1$。
• 位数 $2$: 位数 $2$ の元は $r^3$ と $6$ 個の鏡映 $r^{k}s$ なので、$⟨r^3⟩$ と $⟨r^{k}s⟩$ の計 $7$ 個。
• 位数 $3$: 位数 $3$ の元は $r^2,r^4$ のみなので $⟨r^2⟩$ の $1$ 個。
• 位数 $4$: 位数 $4$ の元はないので、クラインの四元群 $\{e,a,b,ab\}$（$a,b$ は可換な位数 $2$ の元）に限る。鏡映 $r^{i}s,r^{j}s$ が可換になるのは $r^{i-j}=r^{j-i}$、すなわち $i-j\equiv 3(\mathrm{mod}6)$ のときで、積は $r^3$ である。また $r^3$ は中心にある。よって $V_i=\{e,r^3,r^{i}s,r^{i+3}s\}$（$i=0,1,2$）の $3$ 個。
• 位数 $6$: 巡回群は位数 $6$ の元が $r,r^5$ のみなので $⟨r⟩$ の $1$ 個。非可換なもの（$S_3$ と同型）は位数 $3$ の部分群 $⟨r^2⟩$ と $3$ 個の鏡映を含み、$\{r^{2k}\}\cup \{r^{2k}s\}$ と $\{r^{2k}\}\cup \{r^{2k+1}s\}$ の $2$ 個。合わせて $3$ 個。
• 位数 $12$: $G$。

合計 $1+7+1+3+3+1=16$ 個である。

次に $\mu (1,H)$ を位数の小さい順に計算する。

• $\mu (1,1)=1$。
• 位数 $2$ の部分群 $H$: $\mu (1,H)=-1$（$7$ 個）。
• $⟨r^2⟩$: $\mu =-1$。
• $V_i$: 真部分群は $1$ と位数 $2$ の部分群 $3$ 個なので $\mu (1,V_i)=-(1-3)=2$（$3$ 個）。
• $⟨r⟩$: 真部分群は $1,⟨r^3⟩,⟨r^2⟩$ なので $\mu =-(1-1-1)=1$。
• $S_3$ 型の $2$ 個: 真部分群は $1$、鏡映で生成される位数 $2$ の部分群 $3$ 個、$⟨r^2⟩$ なので $\mu =-(1-3-1)=3$。

したがって
$$\sum _{1\le H<G}\mu (1,H)=1+7\cdot (-1)+(-1)+3\cdot 2+1+2\cdot 3=6$$
となり、
$$\mu (1,G)=-6$$
である。

（検算: P. Hall による二面体群の公式 $\mu (1,D_{2n})=-n\mu (n)$（右辺の $\mu$ は数論的メビウス関数）で $n=6$ とすると $-6\cdot \mu (6)=-6\cdot 1=-6$ となり、一致する。）

$G=D_6$ の部分群は全部で 16 個ある。

• 位数 1: $1$
• 位数 2: $⟨r^3⟩$、および鏡映 $s{r}^i$ $(i=0,\dots ,5)$ が生成する 6 個。計 7 個
• 位数 3: $⟨r^2⟩$
• 位数 4: クラインの四元群 $\{1,r^3,s{r}^i,s{r}^{i+3}\}$ $(i=0,1,2)$ の 3 個
• 位数 6: $⟨r⟩$、$⟨r^2,s⟩\cong S_3$、$⟨r^2,sr⟩\cong S_3$ の 3 個
• 位数 12: $G$

$\mu (1,H)$ を $H$ の小さい順に、$\mu (1,H)=-{\sum }_{K<H}\mu (1,K)$ で求める。

• $\mu (1,1)=1$
• 素数位数の部分群（位数 2 が 7 個、位数 3 が 1 個）は、すべて $\mu =-1$
• クラインの四元群（3 個）: 真の部分群は $1$ と位数 2 の 3 個なので、$\mu =-(1-3)=2$
• $⟨r⟩$: 真の部分群は $1$、位数 2 が 1 個、位数 3 が 1 個なので、$\mu =-(1-1-1)=1$
• $S_3$ 型（2 個）: 真の部分群は $1$、位数 3 が 1 個、位数 2 が 3 個なので、$\mu =-(1-1-3)=3$

$G$ より真に小さい部分群についての $\mu$ の総和は
$$1+(-1)\cdot 8+2\cdot 3+1+3\cdot 2=1-8+6+1+6=6.$$

よって $\mu (1,G)=-6$。

検算: 二面体群 $D_n$ については $\mu (1,D_n)=-n\mu (n)$ という既知の結果がある。$n=6$ では $\mu (6)=1$ なので $-6$ となり、上の結果と一致する。素数 $p$ の場合も同様に確かめられる。