代数的組合せ論の問題

有限アーベル群 $G=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ の部分群全体を包含関係で順序づけた半順序集合（部分群束）を $L(G)$ とし、$\mu$ を $L(G)$ のメビウス関数とする。$$S=\sum _{H\in L(G)}\mu (H,G)|H{|}^2$$ の値を求めよ。ただし $|H|$ は部分群 $H$ の位数を表す。

頂点集合を $V=\{1,2,3,4,5\}$ とし、辺集合を $$E=\{\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\},\{4,5\},\{5,1\},\{1,3\}\}$$ とする単純グラフ $G=(V,E)$ を考える（$5$ 頂点の閉路に弦 $\{1,3\}$ を加えたグラフ）。$V$ の集合分割 $\pi$ であって、$\pi$ の各ブロックが誘導する $G$ の部分グラフがすべて連結であるもの全体を $L_G$ とし、$L_G$ に細分による順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のあるブロックに含まれる）を入れる。$L_G$ はすべてのブロックが $1$ 点である分割 $\hat{0}$ を最小元、$V$ 全体を $1$ つのブロックとする分割 $\hat{1}$ を最大元にもつ。$L_G$ のメビウス関数 $\mu$ について、$\mu (\hat{0},\hat{1})$ の値を求めよ。

頂点集合 $\{1,2,3,4\}$ をもち、辺集合が $\{12,13,23,24,34\}$ である単純グラフを $G$ とする（$K_4$ から辺 $14$ を除いたグラフ）。$\{1,2,3,4\}$ の集合分割 $\pi$ のうち、$\pi$ のどのブロック $B$ についても $B$ が誘導する $G$ の部分グラフが連結であるもの全体を $L_G$ とする（要素が 1 個のブロックは連結とみなす）。$L_G$ に細分による半順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のあるブロックに含まれる）を入れる。$L_G$ の最小元 $\hat{0}=\{1\}\{2\}\{3\}\{4\}$ と最大元 $\hat{1}=\{1,2,3,4\}$ に対し、メビウス関数の値 ${\mu }_{L_G}(\hat{0},\hat{1})$ を求めよ。ただしメビウス関数は $\mu (x,x)=1$、$x<y$ のとき $\mu (x,y)=-{\sum }_{x\le z<y}\mu (x,z)$ で定める。

位数 $12$ の二面体群
$$G=⟨r,s\mid r^6=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$$
を考える（正六角形の合同変換全体のなす群）。$G$ の部分群全体を包含関係で順序づけた半順序集合（部分群束）を $L(G)$ とし、その最小元は自明な部分群 $1=\{e\}$、最大元は $G$ である。$L(G)$ のメビウス関数を $\mu$ とするとき、$\mu (1,G)$ の値を求めよ。

集合 $[6]=\{1,2,3,4,5,6\}$ の集合分割全体を ${\Pi }_6$ とし、細分による順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のあるブロックに含まれる）で半順序集合とみなす。${\Pi }_6$ の最大元（ブロックが $[6]$ ただ 1 つの分割）を $\hat{1}$ とし、$\mu$ を ${\Pi }_6$ のメビウス関数とする。

分割
$$\sigma =\{\{1,2\},\{3,4\},\{5\},\{6\}\}$$
に対して、$\mu (\sigma ,\hat{1})$ の値を求めよ。