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代数的組合せ論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学代数的組合せ論

有限アーベル群 $G = Z /3 Z \times Z /9 Z$ の部分群全体を包含関係で順序づけた半順序集合（部分群束）を $L (G)$ とし、 $μ$ を $L (G)$ のメビウス関数とする。 $S = H \in L (G) \sum μ (H, G) ∣ H ∣^{2}$ の値を求めよ。ただし $∣ H ∣$ は部分群 $H$ の位数を表す。

この問題で使うもの

半順序集合のメビウス関数（説明と入口の問題）
ブール束・約数束・分割束のメビウス関数（説明と入口の問題）
群の位数と元の位数（説明と入口の問題）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

アーベル群では区間 $[H, G]$ は商群 $G / H$ の部分群束と同型。 $μ (H, G)$ は $G / H$ の形だけで決まる。

ヒント 2

$p$ 群 $Q$ について $μ ({0}, Q)$ は、 $Q ≅ (Z / p)^{k}$ なら $(- 1)^{k} p^{(2 k)}$ 、基本アーベルでなければ $0$ 。よって $H \supseteq 3 G$ の部分群だけが和に寄与する。

ヒント 3

$3 G = {0} \times {0, 3, 6}$ で、 $3 G$ を含む部分群は $G$ 自身（位数 $27$ ）、指数 $3$ のもの $4$ 個（位数 $9$ ）、 $3 G$ 自身（位数 $3$ ）である。それぞれの $μ (H, G)$ は $1, - 1, 3$ 。

答えと解説

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432

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解説を読む

区間の構造. $G$ はアーベル群なので、 $H \leq G$ に対し区間 $[H, G]$ は対応定理により商群 $G / H$ の部分群束 $L (G / H)$ と同型である。よって $μ (H, G) = μ_{L (G / H)} ({0}, G / H)$ 。

$p$ 群の部分群束のメビウス関数. 有限 $p$ 群 $Q$ について、 $μ_{L (Q)} ({0}, Q)$ は $Q$ が基本アーベル群 $(Z / p)^{k}$ のとき $(- 1)^{k} p^{(2 k)}$ 、そうでなければ $0$ である。（ $(Z / p)^{k}$ の部分群束は $F_{p}^{k}$ の部分空間の束であり、そのメビウス関数は $(- 1)^{k} p^{(2 k)}$ 。基本アーベルでない $Q$ では、極大部分群の共通部分であるフラッティーニ部分群 $Φ (Q) \neq = {0}$ を考えると、 ${0} < K < Q$ の区間の交わり半束でクロスカット定理（あるいは $\sum_{{0} \leq K \leq Q} μ ({0}, K)$ の議論）から $μ = 0$ が従う。具体的には、 $({0}, Q)$ の極大元（極大部分群）の共通部分 $Φ (Q)$ が ${0}$ でないので、ホールの定理より $μ ({0}, Q) = 0$ 。）

したがって $μ (H, G) \neq = 0$ となるのは $G / H$ が基本アーベル $3$ 群のとき、すなわち $H \supseteq 3 G$ のときに限る。

$3 G$ とその上の部分群. $3 G = {0} \times {0, 3, 6}$ で $∣3 G ∣ = 3$ 、 $G /3 G ≅ (Z /3)^{2}$ （位数 $9$ ）。 $3 G$ を含む部分群は $(Z /3)^{2}$ の部分群と 1 対 1 に対応する:
- $H = G$ : $G / H$ は自明, $μ = 1$ , $∣ H ∣ = 27$
- $[G : H] = 3$ の部分群: $(Z /3)^{2}$ の位数 $3$ の部分群に対応して $\frac{3 ^{2} - 1}{3 - 1} = 4$ 個, $μ = - 1$ , $∣ H ∣ = 9$
- $H = 3 G$ : $G / H ≅ (Z /3)^{2}$ , $μ = (- 1)^{2} \cdot 3^{1} = 3$ , $∣ H ∣ = 3$

計算.
$S = 1 \cdot 2 7^{2} + 4 \cdot (- 1) \cdot 9^{2} + 3 \cdot 3^{2} = 729 - 324 + 27 = 432.$

検算（意味づけ）. $S$ は $G$ を生成する順序対 $(g_{1}, g_{2}) \in G^{2}$ の個数に等しい（ $\sum_{H \leq G} # {(g_{1}, g_{2}) : ⟨ g_{1}, g_{2} ⟩ = H}$ が $∣ G ∣^{2}$ で、メビウス反転するとこの式になる）。 $g_{1}, g_{2}$ が $G$ を生成するのは、 $G /3 G ≅ F_{3}^{2}$ での像が基底になるときなので、個数は $∣3 G ∣^{2} \cdot ∣ G L_{2} (F_{3}) ∣ = 9 \cdot 48 = 432$ で一致する。

答えは $432$ 。

別解

有限アーベル $p$ -群 $G$ の部分群束で、 $μ (H, G) \neq = 0$ となるのは $G / H$ が基本アーベル群（ $≅ (Z / p)^{r}$ ）のときに限り、そのとき $μ (H, G) = (- 1)^{r} p^{(2 r)}$ （ $[H, G]$ が部分空間束 $Sub (F_{p}^{r})$ と同型であることによる）。

$G = Z /3 \times Z /9$ 、 $p = 3$ 、 $∣ G ∣ = 27$ 。 $G / H$ が基本アーベル群 $⟺ H \supseteq 3 G$ 。 $3 G = {0} \times 3 Z /9 Z ≅ Z /3$ （位数 3）で、 $G /3 G ≅ (Z /3)^{2}$ 。 $3 G$ を含む部分群 $H$ は $G /3 G ≅ F_{3}^{2}$ の部分空間 $K = H /3 G$ と 1 対 1 に対応する。
- $K = F_{3}^{2}$ （ $H = G$ ）: $r = 0$ 、 $μ = 1$ 、 $∣ H ∣^{2} = 729$ 。寄与 $729$ 。
- $K$ が 1 次元（ $\frac{3 ^{2} - 1}{3 - 1} = 4$ 個）: $∣ H ∣ = 9$ 、 $G / H ≅ Z /3$ 、 $r = 1$ 、 $μ = - 1$ 。寄与 $4 \cdot (- 1) \cdot 81 = - 324$ 。
- $K = 0$ （ $H = 3 G$ ）: $∣ H ∣ = 3$ 、 $G / H ≅ (Z /3)^{2}$ 、 $r = 2$ 、 $μ = (+ 1) \cdot 3^{1} = 3$ 。寄与 $3 \cdot 9 = 27$ 。

$S = 729 - 324 + 27 = 432$ 。

検算: $μ$ の定義 $\sum_{H \leq K \leq G} μ (K, G) = 0$ （ $H \neq = G$ ）を確認する。 $H = 3 G$ のとき $μ (G, G) + 4 μ (位数 9) + μ (3 G, G) = 1 - 4 + 3 = 0$ ✓。1 次元 $K$ に対応する $H$ のとき $1 - 1 = 0$ ✓。

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