代数的組合せ論の問題

頂点集合を $V=\{1,2,3,4,5\}$ とし、辺集合を $$E=\{\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\},\{4,5\},\{5,1\},\{1,3\}\}$$ とする単純グラフ $G=(V,E)$ を考える（$5$ 頂点の閉路に弦 $\{1,3\}$ を加えたグラフ）。$V$ の集合分割 $\pi$ であって、$\pi$ の各ブロックが誘導する $G$ の部分グラフがすべて連結であるもの全体を $L_G$ とし、$L_G$ に細分による順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のあるブロックに含まれる）を入れる。$L_G$ はすべてのブロックが $1$ 点である分割 $\hat{0}$ を最小元、$V$ 全体を $1$ つのブロックとする分割 $\hat{1}$ を最大元にもつ。$L_G$ のメビウス関数 $\mu$ について、$\mu (\hat{0},\hat{1})$ の値を求めよ。

集合 $[6]=\{1,2,3,4,5,6\}$ の集合分割全体を ${\Pi }_6$ とし、細分による順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のあるブロックに含まれる）で半順序集合とみなす。${\Pi }_6$ の最大元（ブロックが $[6]$ ただ 1 つの分割）を $\hat{1}$ とし、$\mu$ を ${\Pi }_6$ のメビウス関数とする。

分割
$$\sigma =\{\{1,2\},\{3,4\},\{5\},\{6\}\}$$
に対して、$\mu (\sigma ,\hat{1})$ の値を求めよ。

頂点集合 $\{1,2,3,4\}$ をもち、辺集合が $\{12,13,23,24,34\}$ である単純グラフを $G$ とする（$K_4$ から辺 $14$ を除いたグラフ）。$\{1,2,3,4\}$ の集合分割 $\pi$ のうち、$\pi$ のどのブロック $B$ についても $B$ が誘導する $G$ の部分グラフが連結であるもの全体を $L_G$ とする（要素が 1 個のブロックは連結とみなす）。$L_G$ に細分による半順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のあるブロックに含まれる）を入れる。$L_G$ の最小元 $\hat{0}=\{1\}\{2\}\{3\}\{4\}$ と最大元 $\hat{1}=\{1,2,3,4\}$ に対し、メビウス関数の値 ${\mu }_{L_G}(\hat{0},\hat{1})$ を求めよ。ただしメビウス関数は $\mu (x,x)=1$、$x<y$ のとき $\mu (x,y)=-{\sum }_{x\le z<y}\mu (x,z)$ で定める。

$[5]=\{1,2,3,4,5\}$ とし、$[5]$ の部分集合のうち要素の個数が $0,1,4,5$ のいずれかであるもの全体を
$$P=\{S\subseteq [5]:|S|\in \{0,1,4,5\}\}$$
とおく。$P$ に包含関係 $\subseteq$ で半順序を入れる。$P$ のメビウス関数 ${\mu }_P$ について、${\mu }_P(\varnothing ,[5])$ の値を求めよ。

$[8]=\{1,2,\dots ,8\}$ の集合分割のうち、すべてのブロックの要素の個数が偶数であるもの全体を ${\Pi }_8^e$ とする。${\Pi }_8^e$ に細分による順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のいずれかのブロックに含まれる）を入れ、さらにすべての元より小さい最小元 $\hat{0}$ を新たに付け加えた半順序集合を $\hat{P}={\Pi }_8^e\cup \{\hat{0}\}$ とする。$\hat{P}$ の最大元を $\hat{1}=\{[8]\}$（ブロックが $[8]$ ただ 1 つの分割）とするとき、$\hat{P}$ のメビウス関数の値 $\mu (\hat{0},\hat{1})$ を求めよ。