代数的組合せ論の問題

$C_4=\{0,1,2,3\}$、$C_3=\{0,1,2\}$ を通常の大小関係による全順序集合（鎖）とし、直積 $P=C_4\times C_3$ に
$$(a,b)\le (a^{\prime },b^{\prime })⟺a\le a^{\prime }\text{かつ}b\le b^{\prime }$$
で半順序を入れる。関数 $f:P\to \mathbb{Z}$ が、すべての $(c,d)\in P$ に対して
$$\sum _{(a,b)\le (c,d)}f(a,b)=(c+d+1{)}^3$$
を満たすとき、$f(3,2)$ の値を求めよ。

可算無限個の変数 $x_1,x_2,\dots$ の有理数係数対称関数環を考える。正の整数 $r$ に対し $h_r={\sum }_{i_1\le i_2\le \cdots \le i_r}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_r}$ を $r$ 次の完全対称関数とし、分割 $\mu$ に対する単項対称関数を $m_{\mu }$ とする。

$5$ 次の対称関数 $h_3{h}_2$ を単項対称関数の一次結合
$$h_3{h}_2=\sum _{\mu }{c}_{\mu }{m}_{\mu }(\mu \text{ は }5\text{ の分割})$$
で表したとき、$m_{(2,2,1)}$ の係数 $c_{(2,2,1)}$ を求めよ。

集合 $[6]=\{1,2,3,4,5,6\}$ の集合分割全体を ${\Pi }_6$ とし、細分による順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のあるブロックに含まれる）で半順序集合とみなす。${\Pi }_6$ の最大元（ブロックが $[6]$ ただ 1 つの分割）を $\hat{1}$ とし、$\mu$ を ${\Pi }_6$ のメビウス関数とする。

分割
$$\sigma =\{\{1,2\},\{3,4\},\{5\},\{6\}\}$$
に対して、$\mu (\sigma ,\hat{1})$ の値を求めよ。

頂点集合 $V=\{1,2,3,4,5\}$、辺集合
$$E=\{\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\},\{4,5\},\{5,1\}\}$$
の単純グラフ $G$（長さ $5$ の閉路 $C_5$）を考える。$V$ の集合分割のうち、各ブロックが $G$ の誘導部分グラフとして連結であるもの全体を $L_G$ とし（ボンド束）、細分による順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のあるブロックに含まれる）を入れる。$L_G$ の最小元（すべて 1 元ブロック）を $\hat{0}$、最大元（ブロックが $V$ だけ）を $\hat{1}$ とし、$\mu$ を $L_G$ のメビウス関数とする。

$\mu (\hat{0},\hat{1})$ の値を求めよ。

可算無限個の変数の有理数係数対称関数環 ${\Lambda }_{\mathbb{Q}}$ に、完全対称関数 $h_{\lambda }$ と単項対称関数 $m_{\mu }$ について $⟨h_{\lambda },m_{\mu }⟩={\delta }_{\lambda \mu }$ となる双線形形式としてホールの内積 $⟨,⟩$ を定める。ここで $h_{\lambda }=h_{{\lambda }_1}{h}_{{\lambda }_2}\cdots$ であり、$h_k$ は次数 $k$ の単項式すべての和である。

$$⟨h_{(2,1)},h_{(1,1,1)}⟩$$
の値を求めよ。