代数的組合せ論の問題

7 個の元からなる集合 $P=\{\hat{0},a,b,c,d,e,\hat{1}\}$ に、次の被覆関係（$x⋖y$ は「$y$ は $x$ のすぐ上にある」を表す）から生成される半順序 $\le$ を入れる。
$$\hat{0}⋖a,\hat{0}⋖b,\hat{0}⋖c,\hat{0}⋖d,a⋖e,b⋖e,c⋖\hat{1},d⋖\hat{1},e⋖\hat{1}$$
すなわち、$x\le y$ となるのは $x=y$ であるか、$x$ から $y$ へ被覆関係をたどって上がれるときである。$P$ のメビウス関数 $\mu$ を
$$\mu (x,x)=1,\mu (x,y)=-\sum _{x\le z<y}\mu (x,z)(x<y)$$
で定めるとき、$\mu (\hat{0},\hat{1})$ を求めよ。

集合 $[6]=\{1,2,3,4,5,6\}$ の集合分割全体を ${\Pi }_6$ とし、細分による順序（$\sigma \le \tau ⟺\sigma$ の各ブロックが $\tau$ のあるブロックに含まれる）で半順序集合とみなす。${\Pi }_6$ の最大元（ブロックが $[6]$ ただ 1 つの分割）を $\hat{1}$ とし、$\mu$ を ${\Pi }_6$ のメビウス関数とする。

分割
$$\sigma =\{\{1,2\},\{3,4\},\{5\},\{6\}\}$$
に対して、$\mu (\sigma ,\hat{1})$ の値を求めよ。

可算無限個の変数 $x_1,x_2,\dots$ の有理数係数対称関数環において、$p_k={\sum }_{i\ge 1}{x}_i^k$ を $k$ 次のべき和対称関数、$p_{\mu }=p_{{\mu }_1}{p}_{{\mu }_2}\cdots$ とし、$s_{\lambda }$ を分割 $\lambda$ に対するシューア関数とする。

4 次の対称関数 $p_{(3,1)}=p_3{p}_1$ をシューア関数の一次結合
$$p_{(3,1)}=\sum _{\lambda ⊢4}{c}_{\lambda }{s}_{\lambda }$$
で表すとき、$s_{(2,2)}$ の係数 $c_{(2,2)}$ を求めよ。

集合 $\{1,2,\dots ,30\}$ に整除関係による順序（$a\le b⟺a\mid b$）を入れた半順序集合に、すべての元より大きい新しい元 $\hat{1}$ を最大元として付け加えた半順序集合を $P$ とする。$P$ のメビウス関数を ${\mu }_P$ とするとき、${\mu }_P(1,\hat{1})$ の値を求めよ。

可算無限個の変数 $x_1,x_2,\dots$ の有理数係数対称関数環を考える。正の整数 $r$ に対し $h_r={\sum }_{i_1\le i_2\le \cdots \le i_r}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_r}$ を $r$ 次の完全対称関数とし、分割 $\mu$ に対する単項対称関数を $m_{\mu }$ とする。

$5$ 次の対称関数 $h_3{h}_2$ を単項対称関数の一次結合
$$h_3{h}_2=\sum _{\mu }{c}_{\mu }{m}_{\mu }(\mu \text{ は }5\text{ の分割})$$
で表したとき、$m_{(2,2,1)}$ の係数 $c_{(2,2,1)}$ を求めよ。