代数的組合せ論の問題

使う事実. シューア関数はホールの内積について正規直交基底である：$⟨s_{\lambda },s_{\mu }⟩={\delta }_{\lambda \mu }$。また $h_{\mu }={\sum }_{\lambda }{K}_{\lambda \mu }{s}_{\lambda }$（$K_{\lambda \mu }$ はコストカ数）。

手順 1: 両方をシューア展開する. 3 の分割は $(3),(2,1),(1,1,1)$ である。

- $h_{(2,1)}$: 内容 $(2,1)$（1 を 2 個、2 を 1 個）の半標準ヤング盤を数える。形 $(3)$ は $112$ の 1 通り、形 $(2,1)$ は 1 行目 $11$・2 行目 $2$ の 1 通り、形 $(1,1,1)$ は 1 が縦に並ぶので 0 通り。よって
$$h_{(2,1)}=s_{(3)}+s_{(2,1)}.$$
- $h_{(1,1,1)}$: 内容 $(1,1,1)$ の半標準ヤング盤は標準ヤング盤で、形 $(3)$ に 1 通り、形 $(2,1)$ に 2 通り（2 行目が $2$ か $3$）、形 $(1,1,1)$ に 1 通り。よって
$$h_{(1,1,1)}=s_{(3)}+2s_{(2,1)}+s_{(1,1,1)}.$$

手順 2: 正規直交性で内積を計算する.
$$⟨h_{(2,1)},h_{(1,1,1)}⟩=1\cdot 1+1\cdot 2+0\cdot 1=3.$$

検算. $⟨h_{\lambda },m_{\mu }⟩={\delta }_{\lambda \mu }$ から、$⟨h_{\lambda },h_{\mu }⟩$ は $h_{\mu }$ の $m_{\lambda }$ の係数、つまり行和 $\lambda$・列和 $\mu$ の非負整数行列の個数である。行和 $(2,1)$・列和 $(1,1,1)$ の行列は、2 行目の 1 をどの列に置くかで決まり $3$ 個。一致する。

$h_{\lambda }={\sum }_{\mu }{N}_{\lambda \mu }{m}_{\mu }$ であり、$N_{\lambda \mu }$ は行和が $\lambda$、列和が $\mu$ の非負整数行列の個数である。内積の定義 $⟨h_{\lambda },m_{\mu }⟩={\delta }_{\lambda \mu }$ より $⟨h_{\lambda },h_{\mu }⟩=N_{\lambda \mu }$。\n\n行和 $(2,1)$、列和 $(1,1,1)$ の $2\times 3$ 非負整数行列を数える。列和がすべて 1 なので各成分は 0 か 1 で、各列は 1 を 1 個だけ持つ。第2行の和が 1 なので、第2行で 1 となる列を選ぶ 3 通りで、残り 2 列は第1行が 1 となり行和 2 を満たす。よって 3 個。\n\n検算: $h_{(2,1)}=m_{(2,1)}+2m_{(1,1,1)}$ ... ではなく、$h_{(2,1)}=h_2{h}_1$ の $m$ 展開は $m_{(3)}+m_{(2,1)}\cdot 2$... と直接確かめる代わりに、$h_{(2,1)}$ における $m_{(1,1,1)}$ の係数は $x_1{x}_2{x}_3$ の係数で、$h_2{h}_1$ からは $x_i{x}_j\cdot x_k$ の選び方 3 通り。$⟨h_{(2,1)},h_{(1,1,1)}⟩$ は $h_{(1,1,1)}$ の $m_{(2,1)}$ の係数でもあり、$h_1^3$ の $x_1^2{x}_2$ の係数 $3$ と一致する。