母関数と係数の取り出し

区別のつかない $8$ 個の玉を、$\text{A},\text{B},\text{C},\text{D}$ の $4$ 人に配る。$1$ 個ももらわない人がいてもよいが、$\text{A}$ がもらう玉の個数は $2$ 個以下とする。すべての玉を配りきるとき、配り方の総数を求めよ。

ある店では、チョコレート・クッキー・キャンディ・ゼリーの 4 種類のお菓子を売っている。同じ種類のお菓子は区別しない。ゼリーは残りが 1 個しかなく、ほかの 3 種類は十分な数がある。この 4 種類から合わせて 8 個を選ぶ選び方は何通りあるか。ただし、選ばない種類があってもよい。

りんご・みかん・ももの 3 種類の果物から、合わせて 9 個を選んで袋に詰める。同じ種類の果物は区別しない。どの果物も十分な個数があり、選ばない種類があってもよい。ただし、ももは 2 個以下しか選べない。このような選び方は何通りあるか。母関数を用いて求めよ。

0 以上の整数 $a,b,c$ の組 $(a,b,c)$ で、
$$a+b+c=10,a\text{ は偶数},b\le 3$$
を満たすものの個数を求めよ。

$99$ を、相異なる $3$ つの正の奇数の和として表す方法は何通りあるか。ただし、和の順序だけが異なるもの（たとえば $1+3+95$ と $95+3+1$）は同じ表し方とみなす。

数列 $\{b_n{\}}_{n\ge 0}$ を
$$b_0=1,b_1=2,b_n=3b_{n-1}-b_{n-2}(n\ge 2)$$
で定める。また、0 以上の整数 $n$ に対して
$$a_n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{2k}\right)$$
とおく。すべての 0 以上の整数 $n$ に対して $a_n=b_n$ が成り立つことを、母関数（有理数係数の形式的冪級数）を用いて証明せよ。

ただし、形式的冪級数環 $\mathbb{Q}[[x]]$ において、0 以上の整数 $m$ に対する等式
$$\frac{1}{(1-x{)}^{m+1}}=\sum _{j=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j+m}{m}\right)x^j$$
が成り立つことと、定数項が $0$ でない形式的冪級数は $\mathbb{Q}[[x]]$ で逆元をもつことは用いてよい。また、0 以上の整数 $p,r$ が $p<r$ を満たすときは $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{r}\right)=0$ と約束する。

正の整数 $n$ の分割とは、和が $n$ になる正の整数の非増加列のことであり、各項を部分という。分割の中に正の整数 $k$ が部分として現れる回数を $k$ の重複度という（現れなければ重複度は $0$）。また $0$ の分割は空列ただ 1 つとする。正の整数 $n$ に対し

• $A(n)$: $n$ の分割のうち、どの正の整数 $k$ についても $k$ の重複度が $3$ を法として $1$ に合同でないもの（すなわち各重複度が $0,2,3,5,6,8,9,\dots$ のいずれかであるもの）の個数
• $B(n)$: 非負整数 $a,b$ と、$a$ の分割 $\mu$、$b$ の分割 $\nu$ の組 $(\mu ,\nu )$ であって、$a+b=n$、$\mu$ のどの部分も $4$ を法として $2$ に合同、$\nu$ のどの部分も $3$ の倍数であるものの個数

とする。すべての正の整数 $n$ に対して $A(n)=B(n)$ が成り立つことを、母関数を用いて証明せよ。

ただし、母関数は有理数係数の形式的冪級数環 $\mathbb{Q}[[x]]$ で考え、次の事実は用いてよい: 形式的冪級数の列 $a_1,a_2,\dots$ で $a_k$ の位数（$0$ でない最低次の次数）が $k\to \infty$ で $\infty$ に発散するものについて、無限積 ${\prod }_{k\ge 1}(1+a_k)$ は収束し、その $x^N$ までの係数は有限個の因子の積で決まること、また収束する無限積どうしの積・商（定数項が $1$ のもの）は因子ごとにとってよく、因子の並べ替えや分け方を変えても値は変わらないこと。

0 以上の整数 $n$ に対して、数列 $\{a_n\}$ を
$$a_0=1,a_1=3,a_n=4a_{n-1}-4a_{n-2}+2^n(n\ge 2)$$
で定める。母関数 $A(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ を用いて、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。

正の整数 $n$ に対して $\sigma (n)={\sum }_{d\mid n,d>0}d$ とし、$n$ が正の整数でないときは $\sigma (n)=0$ と定める。上半平面 $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ 上で $q=e^{2\pi i\tau }$ とおき、
$$\theta (\tau )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{q}^{n^2},E_2(\tau )=1-24\sum _{n=1}^{\infty }\sigma (n)q^n$$
とする。次の事実を用いてよい。

• $f(\tau )=\theta (\tau {)}^2\theta (2\tau {)}^2$ は ${\Gamma }_0(8)$ に関する重さ $2$ の正則モジュラー形式である。
• ${\Gamma }_0(8)$ に関する重さ $2$ の正則モジュラー形式全体のなす $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間は $3$ 次元であり、$E_2(\tau )-2E_2(2\tau )$, $E_2(\tau )-4E_2(4\tau )$, $E_2(\tau )-8E_2(8\tau )$ はその基底をなす。

$0$ 以上の整数 $N$ に対して、$r(N)$ を
$$x^2+y^2+2z^2+2w^2=N$$
を満たす整数の組 $(x,y,z,w)\in {\mathbb{Z}}^4$ の個数とする。$r(2024)$ を求めよ。

数列 $\{a_n{\}}_{n\ge 0}$ を
$$a_0=1,a_n=\sum _{k=1}^n{k}^2{a}_{n-k}(n\ge 1)$$
で定める。無限級数
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{5^n}$$
は収束することが示せる。その和を求めよ。

$0$ 以上の整数 $n$ に対し、相異なる部分からなる分割（空の分割も含め、$0$ の分割は空の分割 $1$ つとする）を考える。分割 $\lambda$ の部分の個数を $\ell (\lambda )$、部分の和を $|\lambda |$ と書く。相異なる部分からなる分割の順序つきの 3 つ組 $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ で $|\alpha |+|\beta |+|\gamma |=n$ をみたすもの全体にわたる和
$$c_n=\sum _{(\alpha ,\beta ,\gamma )}(-1{)}^{\ell (\alpha )+\ell (\beta )+\ell (\gamma )}$$
を定める。このとき
$$\sum _{n=0}^{1000}{c}_n$$
の値を求めよ。

$n$ を正の整数とする。座標平面上で、原点 $(0,0)$ から点 $(2n,0)$ まで、1 歩ごとに $(1,1)$ または $(1,-1)$ だけ進む経路のうち、途中で $y$ 座標が一度も負にならないものを考える（このような経路をディック経路という）。ディック経路 $P$ に対し、$P$ が通る点 $(i,0)$ で $1\le i\le 2n$ を満たすものの個数を $r(P)$ とする（$x$ 軸に戻る回数。終点 $(2n,0)$ も数える）。

$$S_n=\sum _{P}r(P{)}^2$$

とおく。ただし、和は長さ $2n$ のディック経路 $P$ すべてにわたってとる。$S_n$ を $n$ の式で表せ。