離散数学・組合せ論の問題

求める個数は、母関数
$$F(x)=\left(1+x^2+x^4+\cdots \right)\left(1+x+x^2+x^3\right)\left(1+x+x^2+\cdots \right)$$
における $x^{10}$ の係数である。第 1 因子が $a$（偶数）、第 2 因子が $b$（$0\le b\le 3$）、第 3 因子が $c$ に対応する。

各因子を閉じた形で書くと
$$1+x^2+x^4+\cdots =\frac{1}{1-x^2},1+x+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x},1+x+x^2+\cdots =\frac{1}{1-x}.$$
よって
$$F(x)=\frac{1-x^4}{(1-x^2)(1-x{)}^2}=\frac{(1-x^2)(1+x^2)}{(1-x^2)(1-x{)}^2}=\frac{1+x^2}{(1-x{)}^2}.$$
ここで $\frac{1}{(1-x{)}^2}={\sum }_{n=0}^{\infty }(n+1)x^n$ であるから、
$$F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^n+\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n+2}.$$
$x^{10}$ の係数は $(10+1)+(8+1)=11+9=20$。

確認（直接数える）: $a$ を固定すると、$b$ は $0\le b\le \min (3,10-a)$ の範囲で自由に選べ、$c=10-a-b$ と決まる。$a=0,2,4,6$ のとき各 4 通り、$a=8$ のとき 3 通り、$a=10$ のとき 1 通りで、合計 $16+3+1=20$。

$b=0,1,2,3$ で場合分けし、$c=10-a-b\ge 0$ となる偶数 $a$ を数える。$b=0$: $a\in \{0,2,\dots ,10\}$ の 6 通り。$b=1$: $a\le 9$ なので $\{0,2,4,6,8\}$ の 5 通り。$b=2$: $a\le 8$ で 5 通り。$b=3$: $a\le 7$ で $\{0,2,4,6\}$ の 4 通り。合計 $6+5+5+4=20$。検算: $a=2m$ とおくと $2m+b+c=10$、$b\le 3$ で各 $b$ について $m\le \lfloor (10-b)/2\rfloor$ の $m$ の個数 $6,5,5,4$ と一致。