判別式 Δ とラマヌジャンのタウ関数

$q$ を形式的な変数とし、正の整数 $n$ と整数 $k$ に対して ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^k$ とする。アイゼンシュタイン級数を
$$E_4=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_3(n)q^n,E_6=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_5(n)q^n$$
で定め、判別式 $\Delta$ とラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$ を
$$\Delta =\frac{E_4^3-E_6^2}{1728}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$
で定める。$\tau (2)$ の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}$ 上で $q=e^{2\pi iz}$（$z\in \mathbb{H}$）とし、判別式
$$\Delta (z)=q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$
によりラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$（$n$ は正の整数）を定める。$\Delta$ は ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $12$ の尖点形式であり、重さ $12$ の尖点形式の空間は $1$ 次元であることを用いてよい。$\tau (24)$ の値を求めよ。

$q$ を形式的な変数とし、ラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$（$n$ は正の整数）を
$$\Delta =q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$
により定める。素因数として $2$ と $3$ 以外をもたない正の整数全体の集合を
$$S=\{2^a{3}^b\mid a,b\text{ は }0\text{ 以上の整数}\}$$
とする（$1\in S$ である）。このとき、級数
$$\sum _{n\in S}\frac{\tau (n)}{n^{12}}$$
は絶対収束する。その値を既約分数で求めよ。

$q$ を形式的な変数とし、ラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$（$n$ は正の整数）を
$$\Delta =q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$
で定める。$\Delta$ はレベル $1$、重さ $12$ の正規化されたカスプ形式であり、ヘッケ作用素の同時固有形式である。このことから従う $\tau$ の性質（$\gcd (m,n)=1$ なら $\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)$、素数 $p$ と整数 $k\ge 1$ に対して $\tau (p^{k+1})=\tau (p)\tau (p^k)-p^{11}\tau (p^{k-1})$）は用いてよい。

$S$ を、$a,b$ を $0$ 以上の整数として $n=2^a{3}^b$ と表される正の整数 $n$ 全体の集合とする。級数
$$\sum _{n\in S}\frac{\tau (n)}{n^{12}}$$
は絶対収束する。その値を既約分数で求めよ。

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とし、正の整数 $N$ に対して
$${\Gamma }_0(N)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\right\}$$
とする。正の偶数 $k$ に対し、$S_k({\Gamma }_0(N))$ を ${\Gamma }_0(N)$ に関する重さ $k$ の（自明な指標をもつ）正則カスプ形式全体のなす複素ベクトル空間とする。

$S_{12}({\Gamma }_0(13))$ の部分空間 $S_{12}^{\mathrm{old}}({\Gamma }_0(13))$ を、$f\in S_{12}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ を動かしたときの関数 $f(\tau )$ と $f(13\tau )$ 全体で張られる部分空間と定め、そのペテルソン内積に関する直交補空間を新形式の空間 $S_{12}^{\mathrm{new}}({\Gamma }_0(13))$ とする。

${\dim }_{\mathbb{C}}{S}_{12}^{\mathrm{new}}({\Gamma }_0(13))$ を求めよ。

形式的べき級数として
$$\Delta =q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$
によりラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$（$n$ は正の整数）を定める。素因数が $2$ と $3$ だけである正の整数（$1$ を含む）全体を $N=\{2^a{3}^b\mid a,b\text{ は }0\text{ 以上の整数}\}$ とするとき、級数
$$S=\sum _{n\in N}\frac{\tau (n)}{n^{11}}$$
は絶対収束する。$S$ の値を求めよ。

上半平面を $\mathbb{H}=\{\tau \in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}\tau >0\}$ とし、$M_k$ で ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の（正則な）モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間を表す。$f\in M_k$, $f\ne 0$ に対して、${\tau }_0\in \mathbb{H}$ における $f$ の零点の位数を ${\mathrm{ord}}_{{\tau }_0}f$、$q=e^{2\pi i\tau }$ による展開 $f={\sum }_{n\ge 0}{a}_n{q}^n$ において $a_n\ne 0$ となる最小の $n$ を ${\mathrm{ord}}_{\infty }f$ とする。$\rho =e^{2\pi i/3}$ とし、
$$V=\{0\}\cup \{f\in M_{200}\setminus \{0\}|{\mathrm{ord}}_{\infty }f\ge 5,{\mathrm{ord}}_{i}f\ge 3,{\mathrm{ord}}_{\rho }f\ge 7\}$$
とおく。$V$ は $M_{200}$ の部分空間である。${\dim }_{\mathbb{C}}V$ を求めよ。

$q$ を形式的な変数とし、ラマヌジャンのタウ関数 $\tau (n)$（$n$ は正の整数）を $$\Delta =q\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^m{)}^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^n$$ で定める。$\Delta$ が重さ $12$ の正規化されたヘッケ固有カスプ形式であることは用いてよい。$72$ のすべての正の約数 $d$ にわたる和 $$\sum _{d\mid 72,d>0}\tau (d)$$ の値を求めよ。

整数 $k$ に対し、$M_k$ を $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の正則モジュラー形式全体のなす複素ベクトル空間とする。すなわち $M_k$ は、上半平面 $\mathbb{H}$ 上の正則関数 $f$ で、すべての $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in S{L}_2(\mathbb{Z})$ に対して $f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{k}f(\tau )$ をみたし、$q=e^{2\pi i\tau }$ について $|q|<1$ で収束する展開 $f(\tau )={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(f)q^n$ をもつもの全体である。$d_k={\dim }_{\mathbb{C}}{M}_k$ とおく。

次の事実は用いてよい。

• $k<0$ のとき $M_k=\{0\}$ である。
• $k\ge 0$ が偶数のとき、$k\equiv 2(\mathrm{mod}12)$ ならば $d_k=\lfloor k/12\rfloor$、そうでなければ $d_k=\lfloor k/12\rfloor +1$ である。
• $\Delta (\tau )=q{\prod }_{n=1}^{\infty }(1-q^n{)}^{24}$ は $M_{12}$ の元であり、この無限積は $|q|<1$ で広義一様収束して、$\mathbb{H}$ 上で $\Delta (\tau )\ne 0$ である。

偶数 $k\ge 0$ と整数 $m\ge 0$ に対し
$$M_k^{(m)}=\{f\in M_k\mid a_n(f)=0(0\le n\le m-1)\}$$
とおく（$m=0$ のときは $M_k^{(0)}=M_k$）。このとき、すべての偶数 $k\ge 0$ と整数 $m\ge 0$ に対して
$${\dim }_{\mathbb{C}}{M}_k^{(m)}=\max (d_k-m,0)$$
が成り立つことを証明せよ。

$\mathbb{H}$ を上半平面、$q=e^{2\pi i\tau }(\tau \in \mathbb{H})$ とする。正の整数 $n$ と整数 $r\ge 0$ に対し ${\sigma }_r(n)={\sum }_{d\mid n,d>0}{d}^r$ とおく。$B_k$ をベルヌーイ数とし、$B_4=-\frac{1}{30}$、$B_{16}=-\frac{3617}{510}$ である。偶数 $k\ge 4$ に対し
$$E_k(\tau )=1-\frac{2k}{B_k}\sum _{n=1}^{\infty }{\sigma }_{k-1}(n)q^n$$
とおく。$M_k$ を $S{L}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $k$ の正則モジュラー形式の（複素）ベクトル空間とする。次の事実は用いてよい。

• 各 $f\in M_k$ は、$|q|<1$ で収束する $q$ の冪級数 ${\sum }_{n\ge 0}{c}_n{q}^n$ により $f(\tau )={\sum }_{n\ge 0}{c}_n{e}^{2\pi in\tau }$ と表され（$q$ 展開）、その係数 $c_n$ は $f$ から一意に定まる。
• 偶数 $k\ge 4$ に対し $E_k\in M_k$ であり、$f\in M_k$, $g\in M_l$ ならば $fg\in M_{k+l}$ である。
• $\Delta (\tau )=q{\prod }_{n=1}^{\infty }(1-q^n{)}^{24}$ は $M_{12}$ に属し、その $q$ 展開を $\Delta ={\sum }_{n\ge 1}t(n)q^n$ と書くと、すべての $n$ で $t(n)\in \mathbb{Z}$ であり、$t(1)=1$ である。
• ${\dim }_{\mathbb{C}}{M}_{16}=2$ である。

$\Delta E_4\in M_{16}$ の $q$ 展開を $\Delta (\tau )E_4(\tau )={\sum }_{n\ge 1}a(n)q^n$ と書く。このとき、すべての正の整数 $n$ に対して
$$a(n)\equiv {\sigma }_{15}(n)(\mathrm{mod}3617)$$
が成り立つことを証明せよ。