ヘッケ固有形式と τ の乗法性

$g cd (m, n) = 1$ のとき $τ (mn) = τ (m) τ (n)$ 、 $τ (p^{k + 1}) = τ (p) τ (p^{k}) - p^{11} τ (p^{k - 1})$ を使って $τ (n)$ を求め、オイラー因子 $\sum_{k} τ (p^{k}) x^{k} = \frac{1}{1 - τ ( p ) x + p ^{11} x ^{2}}$ から級数の値を求められる

前提

判別式 Δ とラマヌジャンのタウ関数（大学院数学楕円関数・モジュラー形式）
隣接 3 項間の漸化式（数学B 数列）

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算数中学高校大学大学院

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2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）
隣接 3 項間の漸化式（数学B 数列）

説明

ラマヌジャンのタウ関数 $τ (n)$ （ $Δ = \sum_{n \geq 1} τ (n) q^{n}$ の係数）は、 $g cd (m, n) = 1$ なら $τ (mn) = τ (m) τ (n)$ 、素数 $p$ と $e \geq 1$ について $τ (p^{e + 1}) = τ (p) τ (p^{e}) - p^{11} τ (p^{e - 1})$ という規則に従います。これを使うと、 $q$ 展開を長く計算しなくても、素数での値 $τ (2) = - 24, τ (3) = 252, \dots$ から $τ (12)$ や $τ (2^{5})$ のような値を組み立てられます。さらに素数ごとの母関数（オイラー因子） $\sum_{e \geq 0} τ (p^{e}) x^{e} = \frac{1}{1 - τ ( p ) x + p ^{11} x ^{2}}$ を使えば、 $τ (p^{e})$ を係数にもつ級数の値も求められます。

なぜそうしてよいのか

鍵はヘッケ作用素です。重さ $w$ の形式 $f = \sum a (m) q^{m}$ と $n \geq 1$ に対し、 $T_{n} f$ を $q$ 展開の係数が $a_{T_{n} f} (m) = \sum_{d ∣ g c d (m, n)} d^{w - 1} a (\frac{mn}{d ^{2}})$ となる級数として定めると、 $T_{n}$ は重さ $w$ の尖点形式を重さ $w$ の尖点形式に写すことが知られています（ここでは事実として認めます）。前提の技能より重さ $12$ の尖点形式の空間 $S_{12} (SL_{2} (Z))$ は $1$ 次元で、 $Δ$ がその基底なので、 $T_{n} Δ$ は $Δ$ の定数倍 $c_{n} Δ$ でなければなりません。つまり $Δ$ は自動的にすべての $T_{n}$ の固有ベクトル（ヘッケ固有形式）です。

固有値を求めるには両辺の $q^{1}$ の係数を比べます。 $m = 1$ では $d = 1$ だけなので $a_{T_{n} Δ} (1) = τ (n)$ 、一方 $c_{n} τ (1) = c_{n}$ だから $c_{n} = τ (n)$ です。次に $q^{m}$ の係数を比べると、重さ $w = 12$ なので $d^{w - 1} = d^{11}$ となり
$τ (m) τ (n) = d ∣ g c d (m, n) \sum d^{11} τ (\frac{mn}{d ^{2}})$
が得られます。 $g cd (m, n) = 1$ なら右辺は $d = 1$ の項だけで $τ (mn) = τ (m) τ (n)$ 。 $m = p$ 、 $n = p^{e}$ （ $e \geq 1$ ）なら $d = 1, p$ の 2 項で $τ (p) τ (p^{e}) = τ (p^{e + 1}) + p^{11} τ (p^{e - 1})$ となり、これが漸化式です。

漸化式は $a_{e} = τ (p^{e})$ についての隣接 3 項間の漸化式 $a_{e + 1} = τ (p) a_{e} - p^{11} a_{e - 1}$ （ $a_{0} = τ (1) = 1$ , $a_{1} = τ (p)$ ）です。形式的べき級数 $F (x) = \sum_{e \geq 0} a_{e} x^{e}$ に $1 - τ (p) x + p^{11} x^{2}$ を掛けると、 $x^{0}$ の係数は $a_{0} = 1$ 、 $x^{1}$ の係数は $a_{1} - τ (p) a_{0} = 0$ 、 $x^{e + 1}$ （ $e \geq 1$ ）の係数は $a_{e + 1} - τ (p) a_{e} + p^{11} a_{e - 1} = 0$ なので、 $F (x) = \frac{1}{1 - τ ( p ) x + p ^{11} x ^{2}}$ となります。

実際に $x$ に数を代入して級数の値とするには収束範囲を知る必要があります。有理関数を原点のまわりでべき級数展開したときの収束半径は、分母の根（極）の絶対値のうち最小のものです。ここでドリーニュの定理 $∣ τ (p) ∣ \leq 2 p^{11/2}$ （深い定理なので事実として認めます）を使うと、 $2 p^{11/2}$ は無理数で $τ (p)$ は整数だから等号は起こらず、分母 $p^{11} x^{2} - τ (p) x + 1$ の判別式は $τ (p)^{2} - 4 p^{11} < 0$ です。よって 2 根は互いに複素共役で、根と係数の関係から積は $\frac{1}{p ^{11}}$ 、すなわち $∣ α ∣^{2} = α α ˉ = p^{- 11}$ なので、2 根の絶対値はともに $p^{- 11/2}$ です。したがって級数は $∣ x ∣ < p^{- 11/2}$ で収束し、そこでは $\frac{1}{1 - τ ( p ) x + p ^{11} x ^{2}}$ に等しくなります。小さい素数ならドリーニュの定理を使わずに直接確かめられます。例えば $p = 2$ では $τ (2)^{2} - 4 \cdot 2^{11} = 576 - 8192 < 0$ 、 $p = 3$ では $25 2^{2} - 4 \cdot 3^{11} = 63504 - 708588 < 0$ です。

手順

$n$ を素因数分解し $n = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{r}^{e_{r}}$ と書く
乗法性で素数べきに分ける: $τ (n) = τ (p_{1}^{e_{1}}) \dots τ (p_{r}^{e_{r}})$ （互いに素な因子どうしでだけ分けてよい）
各素数 $p$ について $τ (p)$ を $Δ$ の $q$ 展開などから用意する（ $τ (2) = - 24$ , $τ (3) = 252$ , $τ (5) = 4830$ など）
漸化式 $τ (p^{e + 1}) = τ (p) τ (p^{e}) - p^{11} τ (p^{e - 1})$ （ $τ (1) = 1$ ）を $e = 1, 2, \dots$ と順に使って $τ (p^{e_{i}})$ を求める。例えば $τ (p^{2}) = τ (p)^{2} - p^{11}$
求めた素数べきの値を掛け合わせて $τ (n)$ を得る
級数 $\sum_{e \geq 0} τ (p^{e}) x^{e}$ の値を問われたら、収束範囲 $∣ x ∣ < p^{- 11/2}$ に入っていることを確かめてから、 $x$ をオイラー因子 $\frac{1}{1 - τ ( p ) x + p ^{11} x ^{2}}$ に代入する

例題

$τ (2) = - 24$ , $τ (3) = 252$ を用いて $τ (12)$ を求めよ。

例題の解答

この例題は級数の値を問うものではないので、手順 6 は使いません。

手順 1（素因数分解）: $12 = 2^{2} \cdot 3$ 。

手順 2（乗法性）: $g cd (4, 3) = 1$ なので $τ (12) = τ (4) τ (3)$ 。

手順 3（素数での値）: $τ (2) = - 24$ , $τ (3) = 252$ は与えられている。

手順 4（漸化式）: $p = 2$ , $e = 1$ として
$τ (4) = τ (2) τ (2) - 2^{11} τ (1) = (- 24)^{2} - 2048 = 576 - 2048 = - 1472.$

手順 5（掛け合わせる）:
$τ (12) = τ (4) τ (3) = (- 1472) \cdot 252 = - 370944.$

答え: $- 370944$

よくある誤り

互いに素でない因子に乗法性を使ってしまう誤り。例えば $τ (4) = τ (2) τ (2) = 576$ としてしまう。正しくは漸化式から $τ (4) = τ (2)^{2} - 2^{11} = - 1472$ 。
漸化式の補正項の符号や指数を間違える誤り。 $τ (p^{e + 1}) = τ (p) τ (p^{e}) + p^{11} τ (p^{e - 1})$ や $- p^{12} τ (p^{e - 1})$ としてしまう。正しくは、ヘッケ作用素の係数 $d^{w - 1}$ に重さ $w = 12$ と $d = p$ を入れた $p^{11}$ が現れ、符号はマイナス: $τ (p^{e + 1}) = τ (p) τ (p^{e}) - p^{11} τ (p^{e - 1})$ 。
漸化式の初期値を $τ (p^{0}) = 0$ としてしまう誤り。正しくは $τ (1) = 1$ （ $Δ = q - 24 q^{2} + \dots$ の最初の係数）なので、 $e = 1$ のとき $τ (p^{2}) = τ (p)^{2} - p^{11} \cdot 1$ 。
オイラー因子の分母を $1 - τ (p) x - p^{11} x^{2}$ や $1 + τ (p) x + p^{11} x^{2}$ としてしまう誤り。正しくは漸化式 $a_{e + 1} - τ (p) a_{e} + p^{11} a_{e - 1} = 0$ の係数がそのまま現れて $1 - τ (p) x + p^{11} x^{2}$ 。また、分母の 2 根の絶対値はともに $p^{- 11/2}$ （ドリーニュの定理による。 $p = 2$ なら $576 - 8192 < 0$ から直接わかる）なので、 $∣ x ∣ \geq p^{- 11/2}$ の $x$ では級数は収束しない。例えば $p = 2$ , $x = \frac{1}{2}$ を代入して $\frac{1}{1 + 12 + 512} = \frac{1}{525}$ を級数の値としてはいけない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$q$ を形式的な変数とし、正の整数 $n$ に対してラマヌジャンのタウ関数 $τ (n)$ を
$Δ = q m = 1 \prod \infty (1 - q^{m})^{24} = n = 1 \sum \infty τ (n) q^{n}$
で定める。 $Δ$ は重さ $12$ のヘッケ固有形式であり、そのことから
$g cd (m, n) = 1 のとき τ (mn) = τ (m) τ (n), τ (p^{k + 1}) = τ (p) τ (p^{k}) - p^{11} τ (p^{k - 1}) (p は素数, k \geq 1)$
が成り立つ。 $τ (2) = - 24$ , $τ (3) = 252$ であることを用いて、 $τ (12)$ の値を求めよ。

ヘッケ固有形式と τ の乗法性

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題