楕円関数・モジュラー形式の問題

1. $\tau (2),\tau (3)$ の計算。 $q^3$ 以上の項を無視すると
$$(1-q{)}^{24}\equiv 1-24q+(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{2})q^2=1-24q+276q^2,(1-q^2{)}^{24}\equiv 1-24q^2,$$
であり、$m\ge 3$ の因子は $1$ と合同である。よって
$$\prod _{m\ge 1}(1-q^m{)}^{24}\equiv (1-24q+276q^2)(1-24q^2)\equiv 1-24q+252q^2(\mathrm{mod}{q}^3).$$
したがって $\Delta =q-24q^2+252q^3+\cdots$ となり、$\tau (2)=-24,\tau (3)=252$ である。

2. タウ関数の乗法性（モーデルの定理）。 $\Delta$ は ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ に関する重さ $12$ のカスプ形式である。$\dim S_{12}=1$ であり、ヘッケ作用素 $T_n$ は $S_{12}$ を保つ。よって $\Delta$ はすべての $T_n$ の同時固有関数であり、$\tau (1)=1$ と正規化されているので $T_n\Delta =\tau (n)\Delta$ となる。ヘッケ作用素の関係式から、次が成り立つ。
- $\gcd (m,n)=1$ ならば $\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)$。
- 素数 $p$ と $k\ge 1$ に対して $\tau (p^{k+1})=\tau (p)\tau (p^k)-p^{11}\tau (p^{k-1})$。

後者の漸化式を形式的べき級数で書き直すと、
$$\sum _{k=0}^{\infty }\tau (p^k)X^k=\frac{1}{1-\tau (p)X+p^{11}{X}^2}$$
となる。実際、左辺を $F(X)$ とおくと、$(1-\tau (p)X+p^{11}{X}^2)F(X)$ の $X^{k+1}$ $(k\ge 1)$ の係数は漸化式により $0$ になる。さらに $X$ の係数は $\tau (p)-\tau (p)=0$、定数項は $1$ である。

3. 絶対収束と積への分解。 ヘッケの評価 $\tau (n)=O(n^6)$ より ${\sum }_{n\ge 1}|\tau (n)|n^{-12}$ は収束する。したがって $S$ 上の和も絶対収束し、項を自由に並べ替えてよい。$\tau (2^a{3}^b)=\tau (2^a)\tau (3^b)$ だから
$$\sum _{n\in S}\frac{\tau (n)}{n^{12}}=(\sum _{a\ge 0}\tau (2^a)(2^{-12}{)}^a\left)\right(\sum _{b\ge 0}\tau (3^b)(3^{-12}{)}^b).$$
各因子も絶対収束する。また、べき級数 $F(X)$ の収束域 $|X|\le p^{-12}$ では、$F(X)$ と有理関数 $1/(1-\tau (p)X+p^{11}{X}^2)$ の値が一致する。分母の根の絶対値は $p^{-11/2}$ 以上であり、$p^{-12}$ より大きいので、この範囲で分母は $0$ にならない。

4. $p=2$ の因子。 $X=2^{-12}$ を代入すると
$$1-\tau (2)X+2^{11}{X}^2=1+\frac{24}{4096}+\frac{2^{11}}{2^{24}}=1+\frac{48}{8192}+\frac{1}{8192}=\frac{8241}{8192}.$$
よって因子は $\frac{8192}{8241}$ である。

5. $p=3$ の因子。 $X=3^{-12}$ を代入すると
$$1-\frac{252}{3^{12}}+\frac{3^{11}}{3^{24}}=\frac{3^{13}-756+1}{3^{13}}=\frac{1593568}{1594323}.$$
よって因子は $\frac{1594323}{1593568}$ である。

6. 積の計算。 素因数分解は $8192=2^{13}$、$8241=3\cdot 41\cdot 67=3\cdot 2747$、$1594323=3^{13}$、$1593568=2^5\cdot 49799$ である。よって
$$\frac{2^{13}\cdot 3^{13}}{3\cdot 2747\cdot 2^5\cdot 49799}=\frac{2^8\cdot 3^{12}}{2747\cdot 49799}=\frac{136048896}{136797853}.$$
$2747=41\cdot 67$ と $49799$ はともに $2$ でも $3$ でも割り切れないので、この分数は既約である。

答えは $\frac{136048896}{136797853}$ である。

$\tau$ は乗法的であり、素数 $p$ について ${\sum }_{a\ge 0}\tau (p^a)X^a=\frac{1}{1-\tau (p)X+p^{11}{X}^2}$ が成り立つ。$S$ の元は $2^a{3}^b$ と一意に書けるので、和は $p=2$ と $p=3$ のオイラー因子の積になる。$X=p^{-12}$ を代入すると、各因子は $\frac{1}{1-\tau (p)p^{-12}+p^{-13}}$ となる。

$p=2$（$\tau (2)=-24$）: $1+\frac{24}{4096}+\frac{1}{8192}=\frac{8192+48+1}{8192}=\frac{8241}{8192}$。よって因子は $\frac{8192}{8241}$。

$p=3$（$\tau (3)=252$）: $1-\frac{252}{3^{12}}+\frac{1}{3^{13}}=\frac{3^{13}-756+1}{3^{13}}=\frac{1593568}{1594323}$。よって因子は $\frac{1594323}{1593568}$。

積は $\frac{2^{13}\cdot 3^{13}}{8241\cdot 1593568}$ である。ここで $8241=3\cdot 41\cdot 67$、$1593568=2^5\cdot 49799$ であり、$49799$ は奇数で $3$ の倍数でもない。分子の素因数は $2,3$ だけなので、約分できるのは $3$ と $2^5$ のみ。

$3$ と $2^5$ で約分すると $\frac{2^8\cdot 3^{12}}{2747\cdot 49799}=\frac{136048896}{136797853}$。分母は $2$ でも $3$ でも割り切れないので既約。

検算: $256\cdot 531441=136048896$、$2747\cdot 49799=136797853$。