楕円関数・モジュラー形式の問題

使う性質. $\Delta$ は ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ の重さ $12$ のカスプ形式で、その空間は $1$ 次元だから $\Delta$ はすべてのヘッケ作用素の同時固有形式である（モーデル）。これから次が成り立つ。
- $\gcd (m,n)=1$ なら $\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)$（乗法性）
- 素数 $p$ と $k\ge 1$ に対し $\tau (p^{k+1})=\tau (p)\tau (p^k)-p^{11}\tau (p^{k-1})$

後者は形式的べき級数の等式
$$\sum _{k=0}^{\infty }\tau (p^k)x^k=\frac{1}{1-\tau (p)x+p^{11}{x}^2}(1)$$
と同値である。

$\tau (2),\tau (3)$ の計算. ${\prod }_{m\ge 1}(1-q^m{)}^{24}$ を $q^2$ まで展開すると $(1-q{)}^{24}(1-q^2{)}^{24}\equiv (1-24q+276q^2)(1-24q^2)\equiv 1-24q+252q^2(\mathrm{mod}{q}^3)$。よって $\tau (2)=-24,\tau (3)=252$。

収束と分解. $1-\tau (p)x+p^{11}{x}^2$ の判別式は $p=2$ で $576-4\cdot 2048<0$、$p=3$ で $252^2-4\cdot 177147=63504-708588<0$ だから、$t^2-\tau (p)t+p^{11}=0$ の 2 根 ${\alpha }_p,{\beta }_p$ は互いに共役な虚数で $|{\alpha }_p|=|{\beta }_p|=p^{11/2}$。$\tau (p^k)={\sum }_{i=0}^k{\alpha }_p^i{\beta }_p^{k-i}$ より $|\tau (p^k)|\le (k+1)p^{11k/2}$ なので、${\sum }_k\tau (p^k)p^{-11k}$ は絶対収束し、$(1)$ に $x=p^{-11}$ を代入できる。乗法性より $\tau (2^a{3}^b)=\tau (2^a)\tau (3^b)$ だから、絶対収束する 2 つの級数の積として
$$S=\left(\sum _{a\ge 0}\frac{\tau (2^a)}{2^{11a}}\right)\left(\sum _{b\ge 0}\frac{\tau (3^b)}{3^{11b}}\right)=\prod _{p\in \{2,3\}}\frac{1}{1-\tau (p)p^{-11}+p^{-11}}=\prod _{p\in \{2,3\}}\frac{p^{11}}{p^{11}-\tau (p)+1}.$$

計算.
- $p=2$: $2^{11}-\tau (2)+1=2048+24+1=2073=3\cdot 691$。因子は $\frac{2048}{3\cdot 691}$。
- $p=3$: $3^{11}-\tau (3)+1=177147-252+1=176896=2^8\cdot 691$。因子は $\frac{177147}{2^8\cdot 691}$。

（どちらの分母も $691$ で割り切れるのは、ラマヌジャンの合同式 $\tau (n)\equiv {\sigma }_{11}(n)(\mathrm{mod}691)$ から $\tau (p)\equiv 1+p^{11}$ となるためである。）

したがって
$$S=\frac{2^{11}\cdot 3^{11}}{3\cdot 691\cdot 2^8\cdot 691}=\frac{2^3\cdot 3^{10}}{691^2}=\frac{8\cdot 59049}{477481}=\frac{472392}{477481}.$$
$691$ は素数で $2,3$ と互いに素だから、これは既約分数である。

$\tau$ は乗法的で、素数 $p$ について ${\sum }_{a\ge 0}\tau (p^a)X^a=\frac{1}{1-\tau (p)X+p^{11}{X}^2}$ （ヘッケ作用素の関係式 $\tau (p^{a+1})=\tau (p)\tau (p^a)-p^{11}\tau (p^{a-1})$）。$N$ は $2^a{3}^b$ 全体なので $S={\prod }_{p=2,3}{\sum }_a\tau (p^a)p^{-11a}$ と因数分解できる。
$\tau (2)=-24,\tau (3)=252$。
$p=2$: $X=2^{-11}$ とおくと分母は $1+\frac{24}{2^{11}}+\frac{2^{11}}{2^{22}}=1+\frac{25}{2048}=\frac{2073}{2048}$。因子は $\frac{2048}{2073}$。
$p=3$: $X=3^{-11}$ とおくと分母は $1-\frac{252}{3^{11}}+\frac{1}{3^{11}}=\frac{177147-251}{177147}=\frac{176896}{177147}$。因子は $\frac{177147}{176896}$。
$2073=3\cdot 691$, $176896=2^8\cdot 691$, $2048=2^{11}$, $177147=3^{11}$ より
$S=\frac{2^{11}\cdot 3^{11}}{3\cdot 691\cdot 2^8\cdot 691}=\frac{8\cdot 3^{10}}{691^2}=\frac{472392}{477481}$。
検算: $691^2=477481$, $8\cdot 59049=472392$。約 $0.98934$。絶対収束は $|\tau (n)|\le d(n)n^{11/2}$ から従う。