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楕円関数・モジュラー形式の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学楕円関数・モジュラー形式

$q$ を形式的な変数とし、ラマヌジャンのタウ関数 $τ (n)$ （ $n$ は正の整数）を
$Δ = q m = 1 \prod \infty (1 - q^{m})^{24} = n = 1 \sum \infty τ (n) q^{n}$
で定める。 $Δ$ はレベル $1$ 、重さ $12$ の正規化されたカスプ形式であり、ヘッケ作用素の同時固有形式である。このことから従う $τ$ の性質（ $g cd (m, n) = 1$ なら $τ (mn) = τ (m) τ (n)$ 、素数 $p$ と整数 $k \geq 1$ に対して $τ (p^{k + 1}) = τ (p) τ (p^{k}) - p^{11} τ (p^{k - 1})$ ）は用いてよい。

$S$ を、 $a, b$ を $0$ 以上の整数として $n = 2^{a} 3^{b}$ と表される正の整数 $n$ 全体の集合とする。級数
$n \in S \sum \frac{τ ( n )}{n ^{12}}$
は絶対収束する。その値を既約分数で求めよ。

この問題で使うもの

ヘッケ固有形式と τ の乗法性（説明と入口の問題）
判別式 Δ とラマヌジャンのタウ関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（102 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$τ$ の乗法性を使うと、級数は $p = 2$ と $p = 3$ についての 2 つの級数 $\sum_{k} τ (p^{k}) p^{- 12 k}$ の積に分かれる。まず $τ (2), τ (3)$ を無限積の展開から求めよう。

ヒント 2

漸化式から $\sum_{k \geq 0} τ (p^{k}) X^{k} = \frac{1}{1 - τ ( p ) X + p ^{11} X ^{2}}$ が導ける。これに $X = p^{- 12}$ を代入する（収束は $1 - τ (p) X + p^{11} X^{2}$ の根の絶対値から確かめられる）。

ヒント 3

$τ (2) = - 24, τ (3) = 252$ で、 $1 + 24 \cdot 2^{- 12} + 2^{- 13} = \frac{8241}{8192}$ 、 $1 - 252 \cdot 3^{- 12} + 3^{- 13} = \frac{1593568}{1594323}$ となる。あとはこれらの逆数の積を約分する。

答えと解説

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\frac{136048896}{136797853}

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解説を読む

1. $τ (2), τ (3)$ の計算. $\prod_{m \geq 1} (1 - q^{m})^{24}$ の $q^{1}, q^{2}$ の係数を求めればよい。 $q^{2}$ までを見ると
$(1 - q)^{24} (1 - q^{2})^{24} \equiv (1 - 24 q + (2 24) q^{2}) (1 - 24 q^{2}) \equiv 1 - 24 q + (276 - 24) q^{2} (mod q^{3})$
なので、 $q$ を掛けて $τ (1) = 1, τ (2) = - 24, τ (3) = 252$ 。

2. 素数ごとの生成関数. 素数 $p$ を固定し、 $f_{p} (X) = \sum_{k \geq 0} τ (p^{k}) X^{k}$ とおく。漸化式 $τ (p^{k + 1}) = τ (p) τ (p^{k}) - p^{11} τ (p^{k - 1})$ （ $k \geq 1$ ）と $τ (1) = 1$ より、形式的べき級数として
$(1 - τ (p) X + p^{11} X^{2}) f_{p} (X) = 1$
が成り立つ（ $X^{0}, X^{1}$ の係数は $1$ と $τ (p) - τ (p) = 0$ 、 $X^{k + 1}$ （ $k \geq 1$ ）の係数は漸化式により $0$ ）。よって $f_{p} (X) = \frac{1}{1 - τ ( p ) X + p ^{11} X ^{2}}$ 。

収束について: $1 - τ (p) X + p^{11} X^{2} = (1 - α X) (1 - β X)$ とすると $α β = p^{11}$ 。 $p = 2$ では判別式 $2 4^{2} - 4 \cdot 2^{11} = 576 - 8192 < 0$ 、 $p = 3$ では $25 2^{2} - 4 \cdot 3^{11} = 63504 - 708588 < 0$ なので $α, β$ は互いに共役な複素数で $∣ α ∣ = ∣ β ∣ = p^{11/2}$ 。 $τ (p^{k}) = \sum_{i + j = k} α^{i} β^{j}$ より $∣ τ (p^{k}) ∣ \leq (k + 1) p^{11 k /2}$ 。したがって $X = p^{- 12}$ では $\sum_{k} ∣ τ (p^{k}) ∣ p^{- 12 k} \leq \sum_{k} (k + 1) p^{- k /2} < \infty$ となり、 $f_{p} (p^{- 12})$ は絶対収束し、上の有理式の値に等しい。

3. 乗法性による分解. $g cd (2^{a}, 3^{b}) = 1$ なので $τ (2^{a} 3^{b}) = τ (2^{a}) τ (3^{b})$ 。2 つの絶対収束級数の積として
$n \in S \sum \frac{τ ( n )}{n ^{12}} = a, b \geq 0 \sum \frac{τ ( 2 ^{a} )}{2 ^{12 a}} \cdot \frac{τ ( 3 ^{b} )}{3 ^{12 b}} = f_{2} (2^{- 12}) f_{3} (3^{- 12}) .$

4. 値の計算.
$1 - τ (2) \cdot 2^{- 12} + 2^{11} \cdot 2^{- 24} = 1 + \frac{24}{4096} + \frac{1}{8192} = \frac{8192 + 48 + 1}{8192} = \frac{8241}{8192},$
$1 - τ (3) \cdot 3^{- 12} + 3^{11} \cdot 3^{- 24} = 1 - \frac{252}{531441} + \frac{1}{1594323} = \frac{1594323 - 756 + 1}{1594323} = \frac{1593568}{1594323} .$
よって
$n \in S \sum \frac{τ ( n )}{n ^{12}} = \frac{8192}{8241} \cdot \frac{1594323}{1593568} .$
ここで $1593568 = 32 \cdot 49799$ 、 $8192 = 32 \cdot 256$ 、 $1594323 = 3^{13}$ 、 $8241 = 3 \cdot 2747 = 3 \cdot 41 \cdot 67$ なので
$= \frac{256 \cdot 531441}{2747 \cdot 49799} = \frac{136048896}{136797853} .$
分子は $2^{8} \cdot 3^{12}$ で、分母 $2747 \cdot 49799$ は奇数かつ $3$ で割り切れない（ $49799$ の各位の和は $38$ ）ので既約である。

答え: $\frac{136048896}{136797853}$

別解

$τ$ の乗法性より、 $n = 2^{a} 3^{b}$ について $τ (n) = τ (2^{a}) τ (3^{b})$ なので、和は $(\sum_{a \geq 0} τ (2^{a}) 2^{- 12 a}) (\sum_{b \geq 0} τ (3^{b}) 3^{- 12 b})$ と因数分解される。素数 $p$ について $X = p^{- 12}$ 、 $u_{k} = τ (p^{k}) X^{k}$ とおくと、漸化式 $τ (p^{k + 1}) = τ (p) τ (p^{k}) - p^{11} τ (p^{k - 1})$ より、 $F (X) = \sum_{k} τ (p^{k}) X^{k}$ は $(1 - τ (p) X + p^{11} X^{2}) F (X) = 1$ を満たす。よって $F = 1/ (1 - τ (p) p^{- 12} + p^{- 13})$ 。\n\n $τ (2) = - 24$ : $1 + \frac{24}{4096} + \frac{1}{8192} = \frac{8192 + 48 + 1}{8192} = \frac{8241}{8192}$ 。因子は $\frac{8192}{8241}$ 。\n\n $τ (3) = 252$ : $1 - \frac{252}{3 ^{12}} + \frac{1}{3 ^{13}} = \frac{3 ^{13} - 756 + 1}{3 ^{13}} = \frac{1593568}{1594323}$ 。因子は $\frac{1594323}{1593568}$ 。\n\n積: $\frac{2 ^{13} \cdot 3 ^{13}}{8241 \cdot 1593568}$ 。 $8241 = 3 \cdot 41 \cdot 67$ 、 $1593568 = 2^{5} \cdot 49799$ （ $49799$ は $2, 3, 41, 67$ で割り切れない）なので、 $3$ と $2^{5}$ で約分して $\frac{2 ^{8} \cdot 3 ^{12}}{2747 \cdot 49799} = \frac{136048896}{136797853}$ 。分母は $2, 3$ を因数にもたないので既約。

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