ローラン展開

部分分数分解と等比級数・既知のテイラー展開（ $e^{w}$ , $cos w$ など）を組み合わせて、円環領域 $r < ∣ z - a ∣ < R$ での $f$ のローラン展開を求め、指定された係数 $a_{n}$ の値を求められる（例: $\frac{1}{( z - 1 ) ( z - 3 )}$ の $1 < ∣ z ∣ < 3$ での $a_{2}$ ）

前提

べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
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分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）

説明

ローラン展開とは、関数 $f (z)$ を、中心 $a$ のまわりで負のべきも含む級数 $f (z) = n = - \infty \sum \infty a_{n} (z - a)^{n}$ の形に表すことです。正のべきだけのテイラー展開は、 $f$ が分母を $0$ にする点（特異点）を含まない円板の中でしか使えません。ローラン展開なら、特異点を避けた円環領域 $r < ∣ z - a ∣ < R$ でも級数で表せます。部分分数分解と等比級数、既知のテイラー展開を組み合わせれば、係数 $a_{n}$ を具体的に求められます。

なぜそうしてよいのか

出発点は等比級数 $\frac{1}{1 - w} = n = 0 \sum \infty w^{n}$ です。この式は、 $w$ が複素数でも $∣ w ∣ < 1$ のときに収束して成り立ちます。分母が 1 次式の項 $\frac{1}{z - b}$ をこの形に直すには、「どちらの大きさが大きいか」で 2 通りにくくり出します。 $∣ z ∣ < ∣ b ∣$ なら $b$ をくくり出して $\frac{1}{z - b} = - \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{1 - z / b} = - n = 0 \sum \infty \frac{z ^{n}}{b ^{n + 1}}$ とします。 $∣ z / b ∣ < 1$ なのでこれは収束し、正のべきが出てきます。 $∣ z ∣ > ∣ b ∣$ なら $z$ をくくり出して $\frac{1}{z - b} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - b / z} = n = 0 \sum \infty \frac{b ^{n}}{z ^{n + 1}}$ とします。 $∣ b / z ∣ < 1$ なのでこちらが収束し、負のべきが出てきます。

円環 $r < ∣ z ∣ < R$ では、内側の円の中にある特異点（ $∣ b ∣ \leq r$ ）については常に $∣ z ∣ > ∣ b ∣$ です。外側の円の外にある特異点（ $∣ b ∣ \geq R$ ）については常に $∣ z ∣ < ∣ b ∣$ です。そこで部分分数に分けた各項を、その項に合ったくくり出し方で展開します。足し合わせた級数は円環全体で収束し、 $f$ に一致します。中心が $a \neq = 0$ のときは、 $z$ の代わりに $z - a$ 、 $b$ の代わりに $b - a$ で同じことをします。 $e^{1/ z}$ のような関数は、 $e^{w} = \sum w^{n} / n!$ などのテイラー展開（すべての複素数 $w$ で収束）に $w = 1/ z$ を代入すれば、 $z \neq = 0$ で負のべきの級数になります。

さらにローランの定理によって、円環で正則な $f$ をその円環で収束するローラン級数に表す方法は 1 通りしかありません（一意性）。したがって、どんな工夫で展開を作っても、 $(z - a)^{n}$ の係数を読み取ればそれが求める $a_{n}$ です。

手順

中心 $a$ と円環 $r < ∣ z - a ∣ < R$ を確認する。有理関数なら部分分数分解して $\frac{c}{z - b}$ の和に分ける。
各項の特異点 $b$ について $∣ b - a ∣$ を調べる。円環の外側（ $∣ b - a ∣ \geq R$ ）にあれば $\frac{1}{z - b} = - n = 0 \sum \infty \frac{( z - a ) ^{n}}{( b - a ) ^{n + 1}}$ と展開する（ $b - a$ をくくり出す）。
円環の内側（ $∣ b - a ∣ \leq r$ ）にあれば $\frac{1}{z - b} = n = 0 \sum \infty \frac{( b - a ) ^{n}}{( z - a ) ^{n + 1}}$ と展開する（ $z - a$ をくくり出す）。
$e^{w}, cos w, sin w$ などを含むときは、既知のテイラー展開に $w = \frac{1}{z - a}$ などを代入する。前に掛かっている $(z - a)^{k}$ は各項に掛ける。
すべての項を足し、指数をそろえて $(z - a)^{n}$ の係数を集める。一意性により、それが $a_{n}$ である。

例題

$f (z) = \frac{1}{( z - 1 ) ( z - 2 )}$ を円環 $1 < ∣ z ∣ < 2$ で $f (z) = n = - \infty \sum \infty a_{n} z^{n}$ とローラン展開したとき、係数 $a_{3}$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】中心は $a = 0$ 、円環は $1 < ∣ z ∣ < 2$ である。部分分数分解すると $\frac{1}{( z - 1 ) ( z - 2 )} = \frac{1}{z - 2} - \frac{1}{z - 1}$ となる。
【手順2】特異点 $2$ は外側の円 $∣ z ∣ = 2$ 上にあるので、円環では $∣ z ∣ < 2$ が成り立つ。よって $2$ をくくり出す。 $\frac{1}{z - 2} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z}{2}} = - n = 0 \sum \infty \frac{z ^{n}}{2 ^{n + 1}}$ である（ $∣ z /2∣ < 1$ で収束）。
【手順3】特異点 $1$ は内側の円 $∣ z ∣ = 1$ 上にあるので、円環では $∣ z ∣ > 1$ が成り立つ。よって $z$ をくくり出す。 $\frac{1}{z - 1} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{z}} = k = 0 \sum \infty \frac{1}{z ^{k + 1}} = m = 1 \sum \infty z^{- m}$ である（ $∣1/ z ∣ < 1$ で収束）。
【手順4】指数関数などは含まないので、この手順は不要である。
【手順5】足し合わせると $f (z) = - n = 0 \sum \infty \frac{z ^{n}}{2 ^{n + 1}} - m = 1 \sum \infty z^{- m}$ となる。したがって $n \geq 0$ では $a_{n} = - \frac{1}{2 ^{n + 1}}$ 、 $n \leq - 1$ では $a_{n} = - 1$ である。 $z^{3}$ の係数は正のべきの部分からだけ来るので、 $a_{3} = - \frac{1}{2 ^{4}} = - \frac{1}{16}$ となる。

答え: $- \frac{1}{16}$

よくある誤り

$∣ z ∣ > 1$ の領域で $\frac{1}{z - 1} = - \frac{1}{1 - z} = - \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}$ と展開してしまう誤り。この級数は $∣ z ∣ < 1$ でしか収束しない。正しくは $z$ をくくり出して $\frac{1}{z - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} z^{- n - 1}$ とする。
中心 $a \neq = 0$ なのに $z$ のべきで展開してしまう誤り。たとえば $0 < ∣ z - 1∣ < 1$ での $\frac{1}{z ( z - 1 )}$ は $z - 1$ のべきで書く。 $\frac{1}{z} = \frac{1}{1 + ( z - 1 )} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (z - 1)^{n}$ を使うと $\frac{1}{z ( z - 1 )} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (z - 1)^{n - 1}$ となり、 $a_{- 1} = 1, a_{0} = - 1$ である。
前に掛かったべきによる指数のずれを見落とす誤り。たとえば $z^{2} e^{1/ z} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{z ^{2 - k}}{k !}$ の $a_{- 1}$ を $\frac{1}{1 !}$ や $\frac{1}{2 !}$ としてしまう。正しくは $2 - k = - 1$ より $k = 3$ なので、 $a_{- 1} = \frac{1}{3 !} = \frac{1}{6}$ である。
くくり出すときの符号を落とす誤り。 $\frac{1}{z - 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - z /2}$ としてしまう。正しくは $z - 2 = - 2 (1 - \frac{z}{2})$ なので $\frac{1}{z - 2} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - z /2}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

孤立特異点の分類（大学数学複素関数）
正則写像の次数と分岐指数（大学院数学複素解析・リーマン面）