複素関数の問題

部分分数分解.
$$\frac{1}{(z-1)(z-3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z-3}-\frac{1}{z-1}\right).$$

各項の展開（$1<|z|<3$）.
- $|z|<3$ なので $\left|\frac{z}{3}\right|<1$ で、
$$\frac{1}{z-3}=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}}=-\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{3^{n+1}}.$$
- $|z|>1$ なので $\left|\frac{1}{z}\right|<1$ で、
$$\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{z^n}.$$

まとめ. よって $1<|z|<3$ で
$$f(z)=-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }{z}^{-n}-\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{3^{n+1}}.$$
負べきの係数は $a_{-n}=-\frac{1}{2}$（$n\ge 1$）、0 以上のべきの係数は $a_n=-\frac{1}{2\cdot 3^{n+1}}$（$n\ge 0$）である。特に
$$a_2=-\frac{1}{2\cdot 3^3}=-\frac{1}{54}.$$

（注: 負べきの項が無限個あるのは、この円環の内側に特異点 $z=1$ があるためで、$z=1$ の近くでの展開（$0<|z-1|<2$）とは別物である。$z=1$ 自体は $f$ の 1 位の極である。）

部分分数分解により $f(z)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z-3}-\frac{1}{z-1}\right)$。$1<|z|<3$ では $|z/3|<1$ より $\frac{1}{z-3}=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-z/3}=-{\sum }_{n\ge 0}\frac{z^n}{3^{n+1}}$。また $|1/z|<1$ より $\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z}{\sum }_{k\ge 0}{z}^{-k}$ で、これは負べきのみ。よって $z^2$ の係数は $a_2=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3^3}\right)=-\frac{1}{54}$。検算: $a_0=-\frac{1}{6}$ を $z=0$ 付近でなく係数の式 $-\frac{1}{2\cdot 3^{n+1}}$ に $n=0$ を代入して確認、同じ式で $n=2$ は $-\frac{1}{54}$。