複素関数の問題

まず部分分数に分解する。
$$\frac{2z}{(z+1)(z-3)}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{z-3}$$
とおくと、$A={\frac{2z}{z-3}|}_{z=-1}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$、$B={\frac{2z}{z+1}|}_{z=3}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ である。よって
$$f(z)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{z+1}+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{z-3}.$$

$1<|z|<3$ では $|1/z|<1$ かつ $|z/3|<1$ なので、それぞれ等比級数で展開できる。

$|z|>1$ より
$$\frac{1}{z+1}=\frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{z}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{z}^{-k-1}.$$

$|z|<3$ より
$$\frac{1}{z-3}=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}}=-\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{3^{n+1}}.$$

したがって
$$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{2}{z}^{-k-1}-\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{2\cdot 3^n}{z}^n$$
となり、係数は
$$a_n=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2\cdot 3^n}& (n\ge 0)\\ \frac{(-1{)}^{-n-1}}{2}& (n\le -1)\end{array}$$
である。

$n=-3$ のとき $k=2$ に対応するので $a_{-3}=\frac{(-1{)}^2}{2}=\frac{1}{2}$。
$n=2$ のとき $a_2=-\frac{1}{2\cdot 9}=-\frac{1}{18}$。

よって
$$a_{-3}+a_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{18}=\frac{9-1}{18}=\frac{4}{9}.$$

部分分数分解する。$f(z)=\frac{2z}{(z+1)(z-3)}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{z-3}$ とおく。$A=\frac{2(-1)}{-1-3}=\frac{1}{2}$、$B=\frac{2\cdot 3}{3+1}=\frac{3}{2}$。よって $f(z)=\frac{1/2}{z+1}+\frac{3/2}{z-3}$。

$1<|z|<3$ では $|1/z|<1$、$|z/3|<1$ である。

第1項: $\frac{1}{z+1}=\frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1+1/z}={\sum }_{k\ge 0}(-1{)}^k{z}^{-k-1}$。したがって $\frac{1}{2}{\sum }_{k\ge 0}(-1{)}^k{z}^{-k-1}$。$z^{-3}$ の係数は $k=2$ で $\frac{1}{2}\cdot (+1)=\frac{1}{2}$。

第2項: $\frac{1}{z-3}=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-z/3}=-{\sum }_{k\ge 0}\frac{z^k}{3^{k+1}}$。したがって $\frac{3}{2}\cdot (-{\sum }_{k\ge 0}{z}^k/3^{k+1})=-\frac{1}{2}{\sum }_{k\ge 0}{z}^k/3^k$。$z^2$ の係数は $-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{9}=-\frac{1}{18}$。

第1項は負べきのみ、第2項は非負べきのみなので、$a_{-3}=\frac{1}{2}$、$a_2=-\frac{1}{18}$。

和は $\frac{1}{2}-\frac{1}{18}=\frac{9-1}{18}=\frac{4}{9}$。

検算: $a_0=-\frac{1}{2}$、$a_{-1}=\frac{1}{2}$ で、$z\to \infty$ ではなくこの領域の展開として、たとえば $f(2)=\frac{4}{3\cdot (-1)}=-\frac{4}{3}$。部分分数 $\frac{1/2}{3}+\frac{3/2}{-1}=\frac{1}{6}-\frac{3}{2}=-\frac{4}{3}$ で一致。