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複素関数の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学複素関数

複素関数
$f (z) = \frac{sin z}{z ^{3} ( 1 - z )}$
を、円環領域 $0 < ∣ z ∣ < 1$ でローラン展開し、
$f (z) = n = - \infty \sum \infty a_{n} z^{n} (0 < ∣ z ∣ < 1)$
と表す。係数 $a_{0}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

ローラン展開（説明と入口の問題）
テイラー展開（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（57 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$\frac{sin z}{z ^{3}}$ と $\frac{1}{1 - z}$ をそれぞれ $0 < ∣ z ∣ < 1$ で展開し、掛け合わせる。

ヒント 2

$\frac{sin z}{z ^{3}} = \frac{1}{z ^{2}} - \frac{1}{6} + \frac{z ^{2}}{120} - \dots$ 、 $\frac{1}{1 - z} = \sum_{k \geq 0} z^{k}$ を使う。

ヒント 3

積の中で $z^{0}$ になるのは「 $z^{- 2}$ の項 $\times$ $z^{2}$ の項」と「定数項 $\times$ 定数項」の 2 通りである。

答えと解説

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\frac{5}{6}

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解説を読む

$0 < ∣ z ∣ < 1$ において、2 つの因子をそれぞれ展開する。

$sin z$ のマクローリン展開 $sin z = z - \frac{z ^{3}}{6} + \frac{z ^{5}}{120} - \dots$ より
$\frac{sin z}{z ^{3}} = \frac{1}{z ^{2}} - \frac{1}{6} + \frac{z ^{2}}{120} - \dots (z \neq = 0) .$
また $∣ z ∣ < 1$ のとき、等比級数より
$\frac{1}{1 - z} = 1 + z + z^{2} + z^{3} + \dots .$

この 2 つの積が $f (z)$ のローラン展開になる（ローラン展開は一意なので、こうして得た級数が求める展開である）。

$z^{0}$ の項が出てくるのは、次の組み合わせだけである。
- $\frac{1}{z ^{2}}$ と $z^{2}$ の積：係数 $1 \cdot 1 = 1$
- $- \frac{1}{6}$ と $1$ の積：係数 $- \frac{1}{6}$

$\frac{sin z}{z ^{3}}$ の $z^{2}$ 以上の項に $\frac{1}{1 - z}$ の項（ $z$ の $0$ 乗以上）を掛けても $z^{0}$ にはならず、また $\frac{sin z}{z ^{3}}$ には $z^{- 1}$ や $z^{1}$ の項がない。

よって
$a_{0} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} .$

（参考：同様に $a_{- 2} = 1$ 、 $a_{- 1} = 1$ であり、主要部は $\frac{1}{z ^{2}} + \frac{1}{z}$ なので、 $z = 0$ は $f$ の $2$ 位の極である。）

別解

$0 < ∣ z ∣ < 1$ で $\frac{1}{1 - z} = \sum_{k \geq 0} z^{k}$ 、 $sin z = z - \frac{z ^{3}}{6} + \frac{z ^{5}}{120} - \dots$ 。よって $f (z) = \frac{1}{z ^{3}} sin z \cdot \frac{1}{1 - z}$ であり、 $a_{0}$ は $\frac{s i n z}{1 - z}$ の $z^{3}$ の係数に等しい。 $sin z \cdot \frac{1}{1 - z}$ の $z^{3}$ の係数は、 $sin z$ の $z^{k}$ の係数（ $k \leq 3$ ）の和: $0 + 1 + 0 + (- \frac{1}{6}) = \frac{5}{6}$ 。確かめ: $\frac{s i n z}{1 - z} = z + z^{2} + \frac{5}{6} z^{3} + \dots$ （ $z \cdot (1 + z + z^{2}) - \frac{z ^{3}}{6}$ の $z^{3}$ の係数 $1 - \frac{1}{6}$ ）。したがって $a_{0} = \frac{5}{6}$ 。

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