複素関数の問題

各因子の展開

指数関数の展開 $e^w={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{w^k}{k!}$ はすべての複素数 $w$ で収束する。$w=\frac{2}{z}$ を代入すると、$z\ne 0$ で
$$e^{2/z}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{2^k}{k!}{z}^{-k}$$
となる。また $|z|<1$ のとき、等比級数より
$$\frac{1}{1-z}=\sum _{m=0}^{\infty }{z}^m$$
である。

積の展開

$0<|z|<1$ では 2 つの級数はどちらも絶対収束する。したがって積を項ごとに展開して並べ替えてよく、
$$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\frac{2^k}{k!}{z}^{m-k}$$
と書ける。ローラン展開は一意なので、この式で $z^{-2}$ の係数を集めたものが $a_{-2}$ である。

$a_{-2}$ の計算

$z^{-2}$ の項になるのは $m-k=-2$、すなわち $k=m+2$ $(m=0,1,2,\dots )$ のときである。よって
$$a_{-2}=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{2^{m+2}}{(m+2)!}=\sum _{j=2}^{\infty }\frac{2^j}{j!}.$$
${\sum }_{j=0}^{\infty }\frac{2^j}{j!}=e^2$ であり、$j=0$ の項は $1$、$j=1$ の項は $2$ なので、
$$a_{-2}=e^2-1-2=e^2-3.$$

補足（特異点の分類）

同様に、一般に $n\ge 0$ に対して
$$a_{-n}=\sum _{j=n}^{\infty }\frac{2^j}{j!}>0$$
となる。負べきの項が無限個残るので、$z=0$ は $f$ の真性特異点である。

答え: $a_{-2}=e^2-3$

$|z|<1$ のとき $\frac{1}{1-z}={\sum }_{m\ge 0}{z}^m$ であり、$e^{2/z}={\sum }_{k\ge 0}\frac{2^k}{k!}{z}^{-k}$ は $z\ne 0$ で絶対収束する。したがって $0<|z|<1$ では2つの級数の積（コーシー積）を項別に整理してよい。

$z^{-2}$ の係数は、$m-k=-2$ （$m\ge 0,k\ge 0$）となる組 $(m,k)=(k-2,k)$, $k\ge 2$ から得られる。
$$a_{-2}=\sum _{k=2}^{\infty }\frac{2^k}{k!}=e^2-1-2=e^2-3.$$

検算: $e^2\approx 7.389$ なので $a_{-2}\approx 4.389$。一方 ${\sum }_{k\ge 2}{2}^k/k!=2+1.333+0.667+0.267+0.089+0.025+\cdots \approx 4.389$ で一致する。