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複素関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学複素関数

複素関数
$f (z) = \frac{3}{( z - 1 ) ( z + 2 )}$
は $z = 1$ と $z = - 2$ に $1$ 位の極をもち、円環領域 $1 < ∣ z ∣ < 2$ で正則である。この領域における $f$ のローラン展開を
$f (z) = n = - \infty \sum \infty a_{n} z^{n} (1 < ∣ z ∣ < 2)$
と表すとき、係数 $a_{3}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

ローラン展開（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（57 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「ローラン展開」を使う。まず部分分数分解し、それぞれの項を円環 $1 < ∣ z ∣ < 2$ で収束する等比級数に直す。

ヒント 2

$\frac{1}{z - 1}$ は $∣ z ∣ > 1$ なので $\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - 1/ z}$ と、 $\frac{1}{z + 2}$ は $∣ z ∣ < 2$ なので $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + z /2}$ と変形して、公比の絶対値が $1$ より小さい等比級数にする。

ヒント 3

$f (z) = \frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z + 2}$ で、 $\frac{1}{z - 1} = \sum_{k \geq 0} z^{- k - 1}$ （負べきのみ）、 $- \frac{1}{z + 2} = - \sum_{k \geq 0} \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 ^{k + 1}} z^{k}$ となる。あとは $z^{3}$ の係数を読む。

答えと解説

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\frac{1}{16}

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解説を読む

手順 1：部分分数分解

$\frac{3}{( z - 1 ) ( z + 2 )} = \frac{A}{z - 1} + \frac{B}{z + 2}$
とおくと $3 = A (z + 2) + B (z - 1)$ である。 $z = 1$ を代入すると $3 = 3 A$ より $A = 1$ 、 $z = - 2$ を代入すると $3 = - 3 B$ より $B = - 1$ 。よって
$f (z) = \frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z + 2} .$

手順 2： $\frac{1}{z - 1}$ の展開（ $∣ z ∣ > 1$ を使う）

$1 < ∣ z ∣$ なので $\frac{1}{z} < 1$ である。そこで $\frac{1}{z}$ をくくり出して等比級数にする。
$\frac{1}{z - 1} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{z}} = \frac{1}{z} k = 0 \sum \infty \frac{1}{z ^{k}} = \frac{1}{z} + \frac{1}{z ^{2}} + \frac{1}{z ^{3}} + \dots$
これは $z$ の負べきの項だけからなり、 $z^{3}$ の項は含まない。

手順 3： $- \frac{1}{z + 2}$ の展開（ $∣ z ∣ < 2$ を使う）

$∣ z ∣ < 2$ なので $\frac{z}{2} < 1$ である。そこで $2$ をくくり出して等比級数にする。
$- \frac{1}{z + 2} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{z}{2}} = - \frac{1}{2} k = 0 \sum \infty (- \frac{z}{2})^{k} = - k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 ^{k + 1}} z^{k} .$

手順 4：係数を読み取る

2 つの展開を足したものが $1 < ∣ z ∣ < 2$ での $f$ のローラン展開である。 $z^{3}$ の項は手順 3 の $k = 3$ の項だけから出るので
$a_{3} = - \frac{( - 1 ) ^{3}}{2 ^{4}} = \frac{1}{16} .$

別解

部分分数分解すると $\frac{3}{( z - 1 ) ( z + 2 )} = \frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z + 2}$ である（右辺を通分すると $\frac{( z + 2 ) - ( z - 1 )}{( z - 1 ) ( z + 2 )} = \frac{3}{( z - 1 ) ( z + 2 )}$ で確かめられる）。

$1 < ∣ z ∣ < 2$ では $∣1/ z ∣ < 1$ かつ $∣ z /2∣ < 1$ である。

第1項は $\frac{1}{z - 1} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - 1/ z} = \sum_{k = 0}^{\infty} z^{- k - 1}$ となり、 $z$ の負のべきだけを含む。

第2項は $\frac{1}{z + 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + z /2} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n + 1}} z^{n}$ となる。

したがって、 $n \geq 0$ のとき $a_{n} = - \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n + 1}}$ である。

$n = 3$ のとき $a_{3} = - \frac{( - 1 ) ^{3}}{2 ^{4}} = \frac{1}{16}$ である。

検算として、第1項は $z^{3}$ の項をもたない。第2項の $- \frac{1}{z + 2}$ の $z^{3}$ の係数は、 $\frac{1}{2} \cdot (- z /2)^{3} = - \frac{z ^{3}}{16}$ に符号 $- 1$ を掛けて $+ \frac{1}{16}$ となり、一致する。

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