複素関数の問題

方針 部分分数分解で $f$ を 2 つの簡単な分数に分け、それぞれを $w=z-1$ の等比級数で表す。円環 $1<|w|<2$ では、$|w|<2$ と $|w|>1$ の両方が成り立つことを使う。

手順 1：部分分数分解
$$\frac{1}{z(z-3)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{z-3}-\frac{1}{z}\right).$$
（確認：右辺を通分すると $\frac{1}{3}\cdot \frac{z-(z-3)}{z(z-3)}=\frac{1}{z(z-3)}$。）

手順 2：中心 $z=1$ に合わせて $w=z-1$ とおく
$z-3=w-2$, $z=w+1$ だから
$$f=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{w-2}-\frac{1}{w+1}\right),1<|w|<2.$$

手順 3：$\frac{1}{w-2}$ の展開（$|w|<2$ を使う）
$|w/2|<1$ なので無限等比級数が収束し
$$\frac{1}{w-2}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{w}{2}}=-\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{w}{2}\right)}^n=-\sum _{n=0}^{\infty }\frac{w^n}{2^{n+1}}.$$

手順 4：$\frac{1}{w+1}$ の展開（$|w|>1$ を使う）
$|1/w|<1$ なので
$$\frac{1}{w+1}=\frac{1}{w}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{w}}=\frac{1}{w}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(-\frac{1}{w}\right)}^k=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{w}^{-k-1}.$$
これは負のべき $w^{-1},w^{-2},\dots$ だけからなる。

手順 5：まとめて係数を読む
$$f(z)=-\frac{1}{3}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(z-1{)}^n}{2^{n+1}}-\frac{1}{3}\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k(z-1{)}^{-k-1}.$$
$(z-1{)}^2$ の項は第 1 の和の $n=2$ からのみ現れるので
$$a_2=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2^3}=-\frac{1}{24}.$$

$w=z-1$ とおくと $z=1+w$, $z-3=w-2$ である。部分分数分解すると
$$f(z)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{z-3}-\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{w-2}-\frac{1}{w+1}\right)$$
領域は $1<|w|<2$ である。

(1) $\frac{1}{w-2}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-w/2}=-{\sum }_{n\ge 0}\frac{w^n}{2^{n+1}}$。これは $|w|<2$ で収束し、$w$ の 0 以上のべきだけを含む。

(2) $\frac{1}{w+1}=\frac{1}{w}\cdot \frac{1}{1+1/w}={\sum }_{k\ge 0}(-1{)}^k{w}^{-k-1}$。これは $|w|>1$ で収束し、負のべきだけを含む。

$w^2$ の係数に寄与するのは (1) だけである。$n=2$ を代入すると
$$a_2=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2^3}\right)=-\frac{1}{24}$$
検算：$(1/3)(-1/2)(1+w/2+w^2/4+\cdots )$ の $w^2$ の係数は $-\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{4}=-\frac{1}{24}$ となり、一致する。