複素関数の問題

方針：部分分数分解をして、各項を $|z|>2$ で収束する等比級数（$\frac{1}{z}$ のべき）に展開する。

1. 部分分数分解
$$\frac{1}{(z-1)(z-2)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-2}$$ とおく。分母を払うと $1=A(z-2)+B(z-1)$ である。$z=1$ を代入すると $A=-1$、$z=2$ を代入すると $B=1$ となる。よって
$$f(z)=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}.$$

2. 各項を $|z|>2$ で展開する
$|z|>2$ では $\left|\frac{2}{z}\right|<1$ であり、$\left|\frac{1}{z}\right|<\frac{1}{2}<1$ である。したがって、どちらも公比の絶対値が $1$ より小さい無限等比級数として展開できる。
$$\frac{1}{z-2}=\frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-\frac{2}{z}}=\frac{1}{z}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{2}{z}\right)}^k=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{2^k}{z^{k+1}},$$
$$\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{z^{k+1}}.$$

3. まとめる
$$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{2^k-1}{z^{k+1}}(|z|>2).$$
よって、$n\ge 1$ に対して $a_{-n}=2^{n-1}-1$ であり、$n\ge 0$ に対して $a_n=0$ である。

4. 係数を読む
$z^{-4}$ の係数は $k=3$ の項の係数なので、
$$a_{-4}=2^3-1=7.$$

（確認：$a_{-1}=0$, $a_{-2}=1$ であるから、$|z|$ が大きいとき $f(z)\approx \frac{1}{z^2}$ となり、もとの式の振る舞いと一致する。）

部分分数分解により $f(z)=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}$ となる。$|z|>2$ では $\frac{1}{z-a}={\sum }_{k\ge 0}{a}^k{z}^{-k-1}$ と展開できる（$|a|<|z|$）。よって $f(z)={\sum }_{k\ge 0}(2^k-1)z^{-k-1}$。$z^{-4}$ の係数は $k=3$ のときで、$a_{-4}=2^3-1=7$。検算：$f(z)=\frac{1}{z^2-3z+2}=z^{-2}(1-3/z+2/z^2{)}^{-1}$。$u=1/z$ とすると $1/(1-3u+2u^2)=\sum c_m{u}^m$、$c_0=1,c_1=3,c_m=3c_{m-1}-2c_{m-2}$ より $c_2=9-2=7$。$z^{-4}=z^{-2}{u}^2$ なので係数は $c_2=7$。一致する。