複素関数

複素数 $z$ ($z\ne 0$) の対数の主値を、偏角の主値 $-\pi <\mathrm{Arg}z\le \pi$ を用いて
$$\mathrm{Log}z=\log |z|+i\mathrm{Arg}z$$
と定める（右辺の $\log$ は正の実数の自然対数）。このとき、$\mathrm{Log}\left(-1-\sqrt{3}i\right)$ の値を求めよ。

複素数 $z=-\sqrt{3}+i$ について、対数 $\log z$ の主値 $\mathrm{Log}z$ を求めよ。ただし、主値とは偏角 $\arg z$ を $-\pi <\arg z\le \pi$ の範囲にとったときの値 $\mathrm{Log}z=\log |z|+i\arg z$ のことであり、$\log$ は自然対数とする。

複素数 $z\ne 0$ に対して、対数関数の主値を
$$\mathrm{Log}z=\log |z|+i\mathrm{Arg}z(-\pi <\mathrm{Arg}z\le \pi )$$
で定める。ここで $\log$ は正の実数の自然対数である。$\mathrm{Log}(-\sqrt{3}+i)$ の値を求めよ。

$a,b,c$ を実数の定数とし、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。関数
$$f(z)=\left(x^3+ax{y}^2+2y\right)+i\left(b{x}^{2}y-y^3+cx\right)$$
が複素平面全体で正則であるとき、$f^{\prime }(1+i)$ を求めよ。

$a,b,c$ を実数の定数とし、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。関数
$$f(z)=\left(x^3+ax{y}^2+2y\right)+i\left(b{x}^{2}y-y^3+cx\right)$$
が複素平面全体で正則であるとき、$f^{\prime }(1+2i)$ の値を求めよ。

$a,b$ を実数の定数とし、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。関数
$$f(z)=\left(x^3+ax{y}^2+2x\right)+i\left(b{x}^{2}y-y^3+2y\right)$$
が複素平面全体で正則であるとき、$f^{\prime }(1+2i)$ の値を求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{1}{z(z-3)}$$
は $z=0$ と $z=3$ 以外で正則であり、点 $z=1$ を中心とする円環領域 $1<|z-1|<2$ でも正則である。この領域における $f$ のローラン展開を
$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_n(z-1{)}^n(1<|z-1|<2)$$
と表すとき、係数 $a_2$ の値を求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{3}{(z-1)(z+2)}$$
は $z=1$ と $z=-2$ に $1$ 位の極をもち、円環領域 $1<|z|<2$ で正則である。この領域における $f$ のローラン展開を
$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_n{z}^n(1<|z|<2)$$
と表すとき、係数 $a_3$ の値を求めよ。

複素関数 $$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$$ は、円環領域 $2<|z|<\infty$ で正則である。この領域における $f$ のローラン展開を $$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_n{z}^n(|z|>2)$$ と表すとき、係数 $a_{-4}$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。実数値関数
$$u(x,y)=x^2+a{y}^2-4y$$
が調和関数（$u_{xx}+u_{yy}=0$）となるように $a$ を定める。このとき、$u$ を実部にもち、複素平面全体で正則な関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$（$v$ は実数値関数）のうち、$f(0)=3i$ を満たすものについて、$f(1+i)$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。実数値関数
$$u(x,y)=x^2+a{y}^2+3y$$
は $xy$ 平面全体で調和関数である（すなわち $u_{xx}+u_{yy}=0$ を満たす）とする。実数値関数 $v(x,y)$ について、$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ が複素平面全体で正則であり、さらに $f(0)=2i$ を満たすとき、$f(1+i)$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。実数値関数
$$u(x,y)=x^2+a{y}^2-4y$$
を実部にもち、複素平面全体で正則な関数 $f(z)$ が存在する。さらに $f(0)=3i$ を満たすとき、$f(1+i)$ の値を求めよ。

$C$ を円 $|z-i|=2$ とし、反時計回りの向きをつけます。次の複素線積分の値を求めてください。
$${\oint }_C\left\{(z-i{)}^3+\frac{5}{z-i}\right\}dz$$

$C$ を円 $|z-i|=2$ とし、反時計回り（正の向き）に 1 周する積分路とする。次の複素線積分の値を求めよ。$${\oint }_C\left(\frac{3}{z-i}+\frac{2}{(z-i{)}^2}+z^2\right)dz$$

$i$ を虚数単位とする。$C$ を、点 $2$ を中心とする半径 $3$ の円 $|z-2|=3$ を反時計回りに 1 周する閉曲線とする。次の複素線積分の値を求めよ。
$${\oint }_C\left(\frac{4}{z-2}+(z-2{)}^3+\cos z\right)dz$$

複素関数
$$f(z)=\frac{e^z-1-z}{z^6}$$
は $z=0$ を孤立特異点にもち、$z=0$ は $f$ の極である。この極の位数 $m$ を求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{e^z-1-z}{z^6}$$
について、$z=0$ は $f$ の孤立特異点であり、$f$ の極である。この極の位数 $m$ を求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{\sin z-z}{z^6}$$
を考える。$z=0$ は $f$ の孤立特異点であり、$f$ の極である。この極の位数を求めよ。

$C$ を円 $|z|=3$ とし、向きは反時計回り（正の向き）に 1 周するものとする。次の複素線積分の値を求めよ。$${\oint }_C\frac{e^{2z}}{(z-1{)}^2}dz$$

円 $C:|z-1|=1$ を反時計回りに一周する積分路とする。次の複素線積分の値を求めよ。$${\oint }_C\frac{e^{3z}}{(z-1{)}^2}dz$$

$C$ を原点を中心とする半径 $2$ の円 $|z|=2$ とし、向きは反時計回り（正の向き）とする。次の複素線積分の値を求めよ。$${\oint }_C\frac{\cos (\pi z)}{(z-1{)}^3}dz$$

複素関数 $$f(z)=\frac{z^2+5}{z^3-8}$$ の $z=2$ における留数 ${\mathrm{Res}}_{z=2}f(z)$ を求めよ。

複素関数 $$f(z)=\frac{e^{2z}}{z^2-3z+2}$$ の $z=2$ における留数 ${\mathrm{Res}}_{z=2}f(z)$ を求めよ。

複素関数 $$f(z)=\frac{e^{2z}}{(z-1{)}^3}$$ の $z=1$ における留数 ${\mathrm{Res}}_{z=1}f(z)$ を求めよ。

複素平面上の円 $C:|z|=2$ を反時計回りに 1 周する積分路とする。次の複素積分の値を求めよ。$${\oint }_C\frac{z+2}{z(z-1)(z-3)}dz$$

複素平面上の円 $C:|z|=2$ を反時計回りに 1 周する積分路とする。留数定理を用いて、次の複素積分の値を求めよ。$${\oint }_C\frac{z+5}{(z-1)(z+3)}dz$$

複素平面上の円 $C:|z|=3$ を反時計回りに 1 周する積分路とする。次の複素積分の値を求めよ。$${\oint }_C\frac{2z+1}{(z-1)(z+2)(z-4)}dz$$

$z=e^{i\theta }$ とおいて単位円周上の複素積分に直し、留数定理を用いて、次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{5+3\cos \theta }$$

$z=e^{i\theta }$ とおいて単位円周上の複素積分に直し、留数定理を用いて、次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{5+3\cos \theta }$$

$z=e^{i\theta }$ とおいて単位円周上の複素積分に直し、留数定理を用いて、次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{5+3\cos \theta }$$

留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+9)}dx$$

留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{x^2+4x+13}$$

留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{x^2-2x+5}$$

多項式 $$f(z)=z^3+2z^2+z+8$$ の零点のうち、右半平面 $\{z\in \mathbb{C}\mid \mathrm{Re}z>0\}$ に含まれるものの個数を、重複度を込めて求めよ。

多項式 $$f(z)=z^3+2z^2+z+5$$ の零点のうち、右半平面 $\{z\in \mathbb{C}\mid \mathrm{Re}z>0\}$ に含まれるものの個数を、重複度を込めて求めよ。

多項式
$$f(z)=z^3+z^2-z+2$$
の零点のうち、右半平面 $\{z\in \mathbb{C}\mid \mathrm{Re}z>0\}$ に含まれるものの個数を、重複度を込めて求めよ。偏角の原理を用い、虚軸上での $\arg f(z)$ の変化を調べて答えること。

$z^{1/2}$ の分枝を、正の実軸に切れ目を入れ、偏角を $0<\arg z<2\pi$ にとって定める。この分枝と鍵穴型の積分路を用いて、次の広義積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx$$

鍵穴型の積分路と留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx$$ただし、$z^{1/2}$ の分枝は、正の実軸に切れ目を入れ、$z=r{e}^{i\theta }(r>0,0<\theta <2\pi )$ に対して $z^{1/2}=\sqrt{r}{e}^{i\theta /2}$ と定めたものを用いること。

$z^{1/2}$ の分枝を、正の実軸に切れ目を入れ偏角を $0<\arg z<2\pi$ にとって定める。鍵穴型の積分路と留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx$$ ただし $\sqrt{x}$ は $x>0$ における正の平方根とする。

多項式 $$p(z)=z^6-5z^4+2z-1$$ について、開円板 $|z|<1$ に含まれる $p$ の零点の個数を、重複度を込めて求めよ。

多項式
$$p(z)=2z^5-9z^3+3z-1$$
について、開円板 $|z|<1$ に含まれる $p$ の零点の個数を、重複度を込めて求めよ。

多項式 $$p(z)=z^5-12z^2+3z+1$$ について、開円板 $|z|<2$ に含まれる $p$ の零点の個数を、重複度を込めて求めよ。

留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(x^2+1)(x^2+2x+5)}$$

関数
$$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-3)}$$
を円環領域 $1<|z|<3$ でローラン展開し、
$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_n{z}^n(1<|z|<3)$$
と表す。係数 $a_2$ の値を求めよ。

留数定理を用いて、次の定積分の値を求めよ。
$${\int }_0^{2\pi }\frac{\cos \theta }{5-4\cos \theta }d\theta$$

$a,b,c$ を実数の定数とし、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。関数
$$f(z)=\left(x^2+a{y}^2+3x\right)+i\left(bxy+cy\right)$$
が複素平面全体で正則であるとき、$f^{\prime }(1+2i)$ の値を求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{z^2{e}^z}{(z-2{)}^2}$$
の $z=2$ における留数 ${\mathrm{Res}}_{z=2}f(z)$ を求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{\sin z}{z^3(1-z)}$$
を、円環領域 $0<|z|<1$ でローラン展開し、
$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_n{z}^n(0<|z|<1)$$
と表す。係数 $a_0$ の値を求めよ。

$m$ を $0$ 以上の整数とし、$C$ を原点を中心とする半径 $1$ の円周 $|z|=1$ に正の向き（反時計回り）を付けた閉曲線とする。このとき
$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{1}{z}{\left(z+\frac{1}{z}\right)}^{m}dz=\{\begin{array}{ll}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m/2}\right)& (m\text{が偶数のとき})\\ 0& (m\text{が奇数のとき})\end{array}$$
が成り立つことを、留数定理を用いて証明せよ。ただし $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right)=1$ とする。

複素平面上の円 $C:|z|=1$ を反時計回りに 1 周する積分路とし、
$$g(z)=\frac{(z^5+7z^2+1)e^z}{z^3(2z-1{)}^2}$$
とおく。次の複素積分の値を求めよ。
$${\oint }_C\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}dz$$

留数定理を用いて、次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{2\pi }\frac{\cos 2\theta }{5-4\cos \theta }d\theta$$

複素関数
$$f(z)=\frac{2z}{(z+1)(z-3)}$$
は $z=-1$ と $z=3$ に $1$ 位の極をもち、円環領域 $1<|z|<3$ で正則である。この領域における $f$ のローラン展開を
$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_n{z}^n(1<|z|<3)$$
とするとき、$a_{-3}+a_2$ の値を求めよ。

$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とし、複素関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ を
$$u(x,y)=x^2+2xy+3y^2+4x,v(x,y)=4xy-2y^2+6x+2y$$
で定める。$f$ が複素微分可能となる点はただ 1 つ存在する。その点を $z_0$ とするとき、微分係数 $f^{\prime }(z_0)$ の値を求めよ。

複素平面上の円 $C:|z|=1$ を反時計回りに 1 周する積分路とし、
$$f(z)=\frac{z^7-5z^3+1}{(2z-1{)}^2(z-3)}$$
とおく。次の複素積分の値を求めよ。
$${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz$$

複素関数
$$f(z)=\frac{e^{2/z}}{1-z}$$
を考える。点 $z=0$ は $f$ の孤立特異点である。$f$ を円環領域 $0<|z|<1$ でローラン展開して
$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_n{z}^n(0<|z|<1)$$
と表すとき、係数 $a_{-2}$ の値を求めよ。

多項式
$$f(z)=z^7-6z^3+2z+1$$
について、円環領域 $1<|z|<2$ に含まれる $f$ の零点の個数を、重複度を込めて求めよ。

多項式
$$f(z)=z^5+z+3$$
の零点のうち、右半平面 $\{z\in \mathbb{C}\mid \mathrm{Re}z>0\}$ に含まれるものの個数を、重複度を込めて求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とする。実数値関数
$$u(x,y)=x^3+ax{y}^2+2xy+x$$
を実部にもつ複素平面全体で正則な関数 $f(z)$ が存在し、さらに $f(0)=i$ を満たすとする。このとき $f(1+i)$ の値を求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{1}{z^3(1-\cos z)}$$
の $z=0$ における留数 ${\mathrm{Res}}_{z=0}f(z)$ を求めよ。

複素平面上の円 $C:|z|=2$ を反時計回りに 1 周する積分路とする。次の複素積分の値を求めよ。
$${\oint }_C\frac{e^{\pi z}}{z^2(z^2+1)}dz$$

複素平面上の円 $C:|z|=3$ を反時計回りに 1 周する積分路とする。次の複素積分の値を求めよ。
$${\oint }_C\frac{z^5}{(z^2+1)(z^4-16)}dz$$

複素数 $z$ についての方程式
$$e^z=4z^3$$
の解のうち、開円板 $|z|<1$ に含まれるものの個数を、重複度を込めて求めよ。

実数 $x,y$ に対して
$$u(x,y)=e^x(x\cos y-y\sin y)+2xy$$
とおく。実数値関数 $v(x,y)$ は、$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ $(z=x+iy)$ が複素平面全体で正則となり、かつ $f(0)=0$ を満たすものとする。このとき $v\left(1,\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{e^{2z}}{z^2\sin z}$$
の $z=0$ における留数 ${\mathrm{Res}}_{z=0}f(z)$ を求めよ。

$n$ を $3$ 以上の整数とし、複素多項式
$$p(z)=z^n-3z+1$$
を考える。$p$ の零点（重複度を込めて数える）のうち、開円板 $|z|<1$ に含まれるものはちょうど $1$ 個であり、それは開区間 $(0,1)$ に属する実数であること、さらに残りの $n-1$ 個の零点はすべて円環 $1<|z|<2$ に含まれることを証明せよ。

ただし、次のルーシェの定理と代数学の基本定理は用いてよい。

（ルーシェの定理）$f,g$ が閉円板 $|z|\le r$ を含む領域で正則で、円周 $|z|=r$ 上のすべての点で $|g(z)|<|f(z)|$ が成り立つならば、$f$ と $f+g$ の開円板 $|z|<r$ 内の零点の個数（重複度込み）は等しい。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$P(z)$ を複素係数の $n$ 次多項式とする。$P$ の零点 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ はすべて相異なるとする。このとき、$0\le m\le n-2$ を満たすすべての整数 $m$ に対して
$$\sum _{k=1}^n\frac{a_k^m}{P^{\prime }(a_k)}=0$$
が成り立つことを、留数定理を用いて証明せよ。ただし $a_k^0=1$（$a_k=0$ のときも含む）と約束する。

留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。
$${\int }_0^{\infty }\frac{\cos 2x}{\cosh \pi x}dx$$
ただし $\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$ である。

留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \pi x}{x^2+2x+5}dx$$

$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とし、$u(x,y),v(x,y)$ を実数値関数とする。関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ は複素平面全体で正則であり、
$$u(x,y)-v(x,y)=x^3+y^3-3x^{2}y-3x{y}^2-2x-2y$$
がすべての実数 $x,y$ について成り立つ。さらに $f(0)=0$ であるとき、$f(1+i)$ の値を求めよ。

複素平面上の円 $C:|z|=1$ を反時計回りに 1 周する積分路とする。次の複素積分の値を求めよ。
$${\oint }_C\frac{z{e}^{1/z}}{2z-1}dz$$

留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。
$${\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{x}\log x}{(x+1)(x+4)}dx$$

複素数 $z$ についての方程式
$$e^z=4z^2$$
の解のうち、実部が負であるもの（$\mathrm{Re}z<0$ をみたすもの）の個数を、重複度を込めて求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{e^{1/z}}{(z-1{)}^2}$$
を考える。$f$ は $z=0$ に真性特異点、$z=1$ に $2$ 位の極をもち、円環領域 $1<|z|<\infty$ で正則である。この領域における $f$ のローラン展開
$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{z}^n(1<|z|<\infty )$$
について、係数 $c_{-4}$ の値を求めよ。

留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。
$${\int }_0^{\infty }\frac{\cos 2x}{(x^2+1{)}^2}dx$$

関数 $f$ は $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ で正則であり、次の 2 つの条件を満たすとする。
- すべての $z\ne 0$ に対して $$|f(z)|\le |z|+\frac{1}{|z|}$$
- $|z|=1$ を満たすすべての $z$ に対して $f(z)$ は実数である。

このとき、$|\alpha |\le 1$ を満たす複素数 $\alpha$ と実数 $\beta$ が存在して、すべての $z\ne 0$ に対して
$$f(z)=\frac{\alpha }{z}+\beta +\overline{\alpha }z$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- （ローラン展開）$\mathbb{C}\setminus \{0\}$ で正則な $f$ は、$z\ne 0$ で収束する級数 $f(z)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{a}_n{z}^n$ に展開でき、係数は任意の $\rho >0$ に対して $$a_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=\rho }\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz$$ で与えられる（積分路は正の向き）。

$a$ を $a>1$ を満たす実数、$n$ を $0$ 以上の整数とする。このとき
$${\int }_0^{2\pi }\frac{\cos n\theta }{a-\cos \theta }d\theta =\frac{2\pi {\left(a-\sqrt{a^2-1}\right)}^n}{\sqrt{a^2-1}}$$
が成り立つことを、留数定理を用いて証明せよ。