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複素関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学複素関数

$a, b, c$ を実数の定数とし、 $z = x + i y$ （ $x, y$ は実数）とする。関数
$f (z) = (x^{3} + a x y^{2} + 2 y) + i (b x^{2} y - y^{3} + c x)$
が複素平面全体で正則であるとき、 $f^{'} (1 + i)$ を求めよ。

この問題で使うもの

正則関数とコーシー・リーマンの方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（32 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

コーシー・リーマンの方程式 $u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$ を使って係数 $a, b, c$ を決め、 $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ で導関数を求めます。

ヒント 2

$u_{x} = 3 x^{2} + a y^{2}, v_{y} = b x^{2} - 3 y^{2}, u_{y} = 2 a x y + 2, v_{x} = 2 b x y + c$ です。恒等式として係数を比べましょう。

ヒント 3

係数は $a = - 3, b = 3, c = - 2$ となり、 $f^{'} (z) = (3 x^{2} - 3 y^{2}) + i (6 x y - 2)$ です。あとは $x = 1, y = 1$ を代入します。

答えと解説

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4 i

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解説を読む

$u (x, y) = x^{3} + a x y^{2} + 2 y, v (x, y) = b x^{2} y - y^{3} + c x$ とおく。

手順 1：偏導関数を求める。
$u_{x} = 3 x^{2} + a y^{2}, u_{y} = 2 a x y + 2, v_{x} = 2 b x y + c, v_{y} = b x^{2} - 3 y^{2} .$

手順 2：コーシー・リーマンの方程式から係数を決める。
$u, v$ は多項式なので偏導関数は連続である。よって $f$ が複素平面全体で正則であることは、すべての $(x, y)$ でコーシー・リーマンの方程式 $u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$ が成り立つことと同値である。

$u_{x} = v_{y}$ ： $3 x^{2} + a y^{2} = b x^{2} - 3 y^{2}$ がすべての $x, y$ で成り立つので、係数を比べて $b = 3, a = - 3$ 。
$u_{y} = - v_{x}$ ： $2 a x y + 2 = - 2 b x y - c$ がすべての $x, y$ で成り立つので、 $x y$ の係数から $2 a = - 2 b$ （ $a = - 3, b = 3$ で成り立つ）、定数項から $c = - 2$ 。

よって $a = - 3, b = 3, c = - 2$ 。

手順 3： $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ で導関数を求める。
$f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x} = (3 x^{2} - 3 y^{2}) + i (6 x y - 2) .$
$z = 1 + i$ は $x = 1, y = 1$ にあたるので
$f^{'} (1 + i) = (3 - 3) + i (6 - 2) = 4 i .$

（確認： $f (z) = z^{3} - 2 i z$ となっており、 $f^{'} (z) = 3 z^{2} - 2 i$ より $f^{'} (1 + i) = 3 \cdot 2 i - 2 i = 4 i$ で一致する。）

答え： $4 i$

別解

$u = x^{3} + a x y^{2} + 2 y, v = b x^{2} y - y^{3} + c x$ とおく。複素平面全体で正則なので、コーシー・リーマンの方程式 $u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$ が全ての $(x, y)$ で成り立つ。

$u_{x} = 3 x^{2} + a y^{2}, v_{y} = b x^{2} - 3 y^{2}$ より、 $3 = b, a = - 3$ 。

$u_{y} = 2 a x y + 2, - v_{x} = - (2 b x y + c)$ より、 $2 a = - 2 b$ かつ $2 = - c$ 。これは $a = - b = - 3$ と整合し、 $c = - 2$ となる。

よって $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x} = 3 x^{2} - 3 y^{2} + i (6 x y - 2) = 3 z^{2} - 2 i$ 。

$f^{'} (1 + i) = 3 (1 + i)^{2} - 2 i = 3 \cdot 2 i - 2 i = 4 i$ 。

検算として $x = y = 1$ を直接代入すると、 $u_{x} = 3 - 3 = 0, v_{x} = 6 - 2 = 4$ となり、 $f^{'} = 4 i$ で一致する。

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