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複素関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学複素関数

$a, b, c$ を実数の定数とし、 $z = x + i y$ （ $x, y$ は実数）とする。関数
$f (z) = (x^{3} + a x y^{2} + 2 y) + i (b x^{2} y - y^{3} + c x)$
が複素平面全体で正則であるとき、 $f^{'} (1 + 2 i)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

正則関数とコーシー・リーマンの方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（32 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

コーシー・リーマンの方程式 $u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$ を使って $a, b, c$ を決め、その後 $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ で導関数を求めます。

ヒント 2

$u_{x} = 3 x^{2} + a y^{2}$ , $v_{y} = b x^{2} - 3 y^{2}$ , $u_{y} = 2 a x y + 2$ , $v_{x} = 2 b x y + c$ です。これらが恒等的に等しくなるように係数を比べます。

ヒント 3

係数比較から $a = - 3, b = 3, c = - 2$ となるので、 $f^{'} (z) = (3 x^{2} - 3 y^{2}) + i (6 x y - 2)$ です。あとは $x = 1, y = 2$ を代入します。

答えと解説

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- 9 + 10 i

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解説を読む

$u (x, y) = x^{3} + a x y^{2} + 2 y$ 、 $v (x, y) = b x^{2} y - y^{3} + c x$ とおく。 $u, v$ は多項式なので偏導関数はすべて連続であり、 $f$ が正則であることはコーシー・リーマンの方程式
$u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$
がすべての $(x, y)$ で成り立つことと同値である。

偏導関数を計算する。
$u_{x} = 3 x^{2} + a y^{2}, u_{y} = 2 a x y + 2,$
$v_{x} = 2 b x y + c, v_{y} = b x^{2} - 3 y^{2} .$

$u_{x} = v_{y}$ から。 $3 x^{2} + a y^{2} = b x^{2} - 3 y^{2}$ がすべての $x, y$ で成り立つので、係数を比べて $b = 3, a = - 3$ 。

$u_{y} = - v_{x}$ から。 $2 a x y + 2 = - 2 b x y - c$ がすべての $x, y$ で成り立つので、 $2 a = - 2 b$ かつ $2 = - c$ 。 $a = - 3, b = 3$ はこれを満たし、 $c = - 2$ 。

したがって $a = - 3, b = 3, c = - 2$ 。

導関数を求める。 正則関数では $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ であるから
$f^{'} (z) = (3 x^{2} - 3 y^{2}) + i (6 x y - 2) .$
$z = 1 + 2 i$ のとき $x = 1, y = 2$ を代入して
$f^{'} (1 + 2 i) = (3 - 12) + i (12 - 2) = - 9 + 10 i .$

（確認：実際 $f (z) = z^{3} - 2 i z$ であり、 $f^{'} (z) = 3 z^{2} - 2 i$ から $3 (1 + 2 i)^{2} - 2 i = 3 (- 3 + 4 i) - 2 i = - 9 + 10 i$ となり一致する。）

別解

$u = x^{3} + a x y^{2} + 2 y, v = b x^{2} y - y^{3} + c x$ とおく。複素平面全体で正則であることから、コーシー・リーマンの関係式 $u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$ が全域で成り立つ。

$u_{x} = 3 x^{2} + a y^{2}, v_{y} = b x^{2} - 3 y^{2}$ より $b = 3, a = - 3$ 。

$u_{y} = 2 a x y + 2, - v_{x} = - (2 b x y + c)$ より、 $x y$ の係数から $a = - b$ （これは $a = - 3, b = 3$ と整合する）。定数項から $2 = - c$ なので $c = - 2$ 。

このとき $f (z) = z^{3} - 2 i z$ となる。実際、 $z^{3} = (x^{3} - 3 x y^{2}) + i (3 x^{2} y - y^{3})$ 、 $- 2 i z = 2 y - 2 i x$ であり、 $f$ と一致する。

よって $f^{'} (z) = 3 z^{2} - 2 i$ 。 $z = 1 + 2 i$ のとき $z^{2} = 1 + 4 i - 4 = - 3 + 4 i$ なので
$f^{'} (1 + 2 i) = 3 (- 3 + 4 i) - 2 i = - 9 + 10 i$ 。

検算： $f^{'} = u_{x} + i v_{x} = 3 x^{2} - 3 y^{2} + i (6 x y - 2)$ に $x = 1, y = 2$ を代入すると $- 9 + 10 i$ となり、一致する。

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