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複素関数の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学複素関数

$a, b, c$ を実数の定数とし、 $z = x + i y$ （ $x, y$ は実数）とする。関数
$f (z) = (x^{2} + a y^{2} + 3 x) + i (b x y + c y)$
が複素平面全体で正則であるとき、 $f^{'} (1 + 2 i)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

正則関数とコーシー・リーマンの方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（32 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$f = u + i v$ が正則であるための条件、コーシー・リーマンの方程式 $u_{x} = v_{y}$ , $u_{y} = - v_{x}$ を使いましょう。

ヒント 2

$u_{x} = 2 x + 3$ , $v_{y} = b x + c$ , $u_{y} = 2 a y$ , $v_{x} = b y$ です。これらが恒等的に等しくなるように係数を比べます。

ヒント 3

$b = 2$ , $c = 3$ , $a = - 1$ となります。あとは $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ を使うか、 $f$ を $z$ の式で表してから微分しましょう。

答えと解説

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5 + 4 i

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解説を読む

$u = x^{2} + a y^{2} + 3 x$ , $v = b x y + cy$ とおく。 $u, v$ は多項式なので偏微分は連続であり、 $f$ が正則であることはコーシー・リーマンの方程式
$u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$
がすべての $(x, y)$ で成り立つことと同値である。

偏導関数は
$u_{x} = 2 x + 3, u_{y} = 2 a y, v_{x} = b y, v_{y} = b x + c .$

$u_{x} = v_{y}$ : $2 x + 3 = b x + c$ がすべての $x$ で成り立つので $b = 2$ , $c = 3$ 。
$u_{y} = - v_{x}$ : $2 a y = - b y = - 2 y$ がすべての $y$ で成り立つので $a = - 1$ 。

このとき $f (z) = (x^{2} - y^{2} + 3 x) + i (2 x y + 3 y) = z^{2} + 3 z$ である。

正則関数の導関数は $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ で与えられるので
$f^{'} (z) = (2 x + 3) + i \cdot 2 y .$
$x = 1$ , $y = 2$ を代入して
$f^{'} (1 + 2 i) = 5 + 4 i .$
（ $f (z) = z^{2} + 3 z$ から $f^{'} (z) = 2 z + 3$ としても $f^{'} (1 + 2 i) = 2 + 4 i + 3 = 5 + 4 i$ 。）

別解

$u = x^{2} + a y^{2} + 3 x$ , $v = b x y + cy$ 。正則であるためにコーシー・リーマン方程式 $u_{x} = v_{y}$ , $u_{y} = - v_{x}$ が全平面で成り立つ必要がある。 $u_{x} = 2 x + 3$ , $v_{y} = b x + c$ より $b = 2$ , $c = 3$ 。 $u_{y} = 2 a y$ , $- v_{x} = - b y = - 2 y$ より $a = - 1$ 。このとき $f (z) = (x^{2} - y^{2} + 3 x) + i (2 x y + 3 y) = z^{2} + 3 z$ 。したがって $f^{'} (z) = 2 z + 3$ , $f^{'} (1 + 2 i) = 2 (1 + 2 i) + 3 = 5 + 4 i$ 。検算: $f^{'} = u_{x} + i v_{x} = (2 x + 3) + i \cdot 2 y = 2 z + 3$ で一致。

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