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複素関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学複素関数

$a, b$ を実数の定数とし、 $z = x + i y$ （ $x, y$ は実数）とする。関数
$f (z) = (x^{3} + a x y^{2} + 2 x) + i (b x^{2} y - y^{3} + 2 y)$
が複素平面全体で正則であるとき、 $f^{'} (1 + 2 i)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

正則関数とコーシー・リーマンの方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（32 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

コーシー・リーマンの方程式 $u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$ を使って、正則になるための $a, b$ の条件を求めます。そのあと $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ で導関数を計算します。

ヒント 2

$u_{x} = 3 x^{2} + a y^{2} + 2$ 、 $v_{y} = b x^{2} - 3 y^{2} + 2$ です。これがすべての $x, y$ で等しくなるように、 $x^{2}$ と $y^{2}$ の係数を比べます。

ヒント 3

係数を比べると $a = - 3, b = 3$ になります。このとき $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x} = (3 x^{2} - 3 y^{2} + 2) + i \cdot 6 x y$ です。ここに $x = 1, y = 2$ を代入します。

答えと解説

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- 7 + 12 i

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解説を読む

実部と虚部を
$u (x, y) = x^{3} + a x y^{2} + 2 x, v (x, y) = b x^{2} y - y^{3} + 2 y$
とおく。 $u, v$ は多項式なので偏導関数はすべて連続である。したがって、 $f$ が複素平面全体で正則であることは、コーシー・リーマンの方程式
$u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$
がすべての実数 $x, y$ で成り立つことと同じである。

偏導関数を計算する。
$u_{x} = 3 x^{2} + a y^{2} + 2, u_{y} = 2 a x y,$
$v_{x} = 2 b x y, v_{y} = b x^{2} - 3 y^{2} + 2.$

コーシー・リーマンの方程式から係数を決める。

$u_{x} = v_{y}$ より、すべての $x, y$ で
$3 x^{2} + a y^{2} + 2 = b x^{2} - 3 y^{2} + 2$
が成り立つ。 $x^{2}, y^{2}$ の係数を比べて $b = 3, a = - 3$ 。

$u_{y} = - v_{x}$ より、すべての $x, y$ で $2 a x y = - 2 b x y$ 、すなわち $a = - b$ 。これは $a = - 3, b = 3$ と矛盾しない。

よって $a = - 3, b = 3$ である。

導関数を求める。

正則関数の導関数は $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ で求められる。 $a = - 3, b = 3$ を代入すると
$f^{'} (z) = (3 x^{2} - 3 y^{2} + 2) + i \cdot 6 x y .$
$z = 1 + 2 i$ のとき $x = 1, y = 2$ なので
$f^{'} (1 + 2 i) = (3 - 12 + 2) + i \cdot 6 \cdot 1 \cdot 2 = - 7 + 12 i .$

（確認） $a = - 3, b = 3$ のとき $f (z) = z^{3} + 2 z$ であり、 $f^{'} (z) = 3 z^{2} + 2$ となる。 $(1 + 2 i)^{2} = - 3 + 4 i$ より $3 (- 3 + 4 i) + 2 = - 7 + 12 i$ となり、一致する。

答え： $- 7 + 12 i$

別解

$u = x^{3} + a x y^{2} + 2 x, v = b x^{2} y - y^{3} + 2 y$ とおく。コーシー・リーマンの関係式 $u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$ が全平面で成り立つ必要がある。

$u_{x} = 3 x^{2} + a y^{2} + 2, v_{y} = b x^{2} - 3 y^{2} + 2$ より、 $b = 3, a = - 3$ 。

$u_{y} = 2 a x y, v_{x} = 2 b x y$ より、 $2 a = - 2 b$ すなわち $a = - b$ 。これは $a = - 3, b = 3$ と整合する。

このとき $f (z) = z^{3} + 2 z$ となる。実際、 $z^{3} = (x^{3} - 3 x y^{2}) + i (3 x^{2} y - y^{3})$ なので、 $f (z) = z^{3} + 2 z$ の実部・虚部は $u, v$ と一致する。

よって $f^{'} (z) = 3 z^{2} + 2$ 。

$z = 1 + 2 i$ のとき $z^{2} = 1 + 4 i - 4 = - 3 + 4 i$ なので、 $f^{'} (1 + 2 i) = 3 (- 3 + 4 i) + 2 = - 7 + 12 i$ 。

検算： $u_{x} + i v_{x} = (3 x^{2} - 3 y^{2} + 2) + i \cdot 6 x y$ に $x = 1, y = 2$ を代入すると $(3 - 12 + 2) + 12 i = - 7 + 12 i$ 。一致する。

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