複素関数の問題

手順 1：調和関数となる条件から $a$ を決める。

$u_x=2x,u_{xx}=2$、$u_y=2ay+3,u_{yy}=2a$ であるから
$$u_{xx}+u_{yy}=2+2a=0$$
より $a=-1$。よって $u=x^2-y^2+3y$ である。

手順 2：コーシー・リーマンの方程式を積分して共役調和関数 $v$ を求める。

$f=u+iv$ が正則なので $u_x=v_y,u_y=-v_x$ が成り立つ。

まず $v_y=u_x=2x$ を $y$ で積分すると、$x$ だけの関数 $g(x)$ を用いて
$$v=2xy+g(x)$$
と書ける。

次に $v_x=2y+g^{\prime }(x)$ を $u_y=-v_x$ に代入すると
$$-2y+3=-2y-g^{\prime }(x)$$
より $g^{\prime }(x)=-3$、したがって $g(x)=-3x+C$（$C$ は実数の定数）。よって
$$v=2xy-3x+C.$$

手順 3：$f(z)$ を $z$ の式で表す。
$$f=(x^2-y^2+3y)+i(2xy-3x+C).$$
ここで $z^2=x^2-y^2+2ixy$、$-3iz=-3i(x+iy)=3y-3ix$ であるから
$$f(z)=z^2-3iz+iC.$$

手順 4：条件 $f(0)=2i$ から定数を決め、値を求める。

$f(0)=iC=2i$ より $C=2$。よって $f(z)=z^2-3iz+2i$。

$(1+i{)}^2=2i$、$-3i(1+i)=3-3i$ なので
$$f(1+i)=2i+(3-3i)+2i=3+i.$$

答え：$f(1+i)=3+i$

調和条件より $u_{xx}+u_{yy}=2+2a=0$ なので $a=-1$。よって $u=x^2-y^2+3y$。

コーシー・リーマンの関係式 $u_x=v_y,u_y=-v_x$ を使う。$u_x=2x$ より $v=2xy+g(x)$。$u_y=-2y+3=-v_x=-2y-g^{\prime }(x)$ より $g^{\prime }(x)=-3$、したがって $g(x)=-3x+C$。ゆえに $v=2xy-3x+C$。

$f(0)=u(0,0)+iv(0,0)=0+iC=2i$ より $C=2$。

$f(z)$ を $z$ の式で表す。$x^2-y^2=\mathrm{Re}(z^2)$、$2xy=\mathrm{Im}(z^2)$ なので $z^2$ が含まれる。$3y-3xi=-3i(x+iy)=-3iz$ であり、実際 $-3iz=-3ix+3y$ となる。よって $f(z)=z^2-3iz+2i$。

検算として $f(z)$ の実部は $x^2-y^2+3y$ で $u$ と一致し、虚部は $2xy-3x+2$ で $v$ と一致する。

$z=1+i$ のとき $z^2=2i$、$-3iz=-3i(1+i)=-3i+3$ なので
$f(1+i)=2i+3-3i+2i=3+i$。

確認：$u(1,1)=1-1+3=3$、$v(1,1)=2-3+2=1$ で $3+i$ と一致する。