調和関数と共役調和関数

$u$ が調和関数（ $u_{xx} + u_{y y} = 0$ ）となる条件を求め、コーシー・リーマンの方程式を積分して共役調和関数 $v$ を定め、条件 $f (0)$ などから正則関数 $f (z)$ を $z$ の式で表して値を求められる

前提

正則関数とコーシー・リーマンの方程式（大学数学複素関数）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）

説明

実部 $u (x, y)$ だけが与えられたときに、それを実部にもつ正則関数 $f = u + i v$ を復元する方法を学びます。まず $u$ が $u_{xx} + u_{y y} = 0$ （調和関数）を満たすかを確かめ、係数の条件を求めます。次にコーシー・リーマンの方程式を積分して虚部 $v$ （共役調和関数）を決め、 $f$ を $z = x + i y$ の式にまとめます。 $f (0)$ などの条件で定数を決めれば、 $f$ の値を計算できます。

なぜそうしてよいのか

正則関数 $f = u + i v$ の $u, v$ は何回でも偏微分でき、偏微分の順序を入れ替えてよいことが知られています（ここではこの事実を認めます）。コーシー・リーマンの方程式 $u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$ の 1 つ目を $x$ で、2 つ目を $y$ で偏微分すると、 $u_{xx} = v_{y x}$ 、 $u_{y y} = - v_{x y}$ となります。 $v_{x y} = v_{y x}$ なので、2 式を足すと $u_{xx} + u_{y y} = 0$ です。この式を満たす関数を調和関数といいます。つまり、調和でない $u$ はどんな正則関数の実部にもなれません。「調和である」ことは、 $u$ が正則関数の実部になるための必要条件です。

逆に、平面全体で調和な $u$ からは $v$ を作れます。まず $v_{y} = u_{x}$ を $y$ で積分して $v = \int u_{x} d y + φ (x)$ とおきます。 $y$ で積分したので、「積分定数」は $x$ だけの関数 $φ (x)$ になります。これをもう一方の式 $v_{x} = - u_{y}$ に代入すると、 $φ^{'} (x) = - u_{y} - \frac{\partial}{\partial x} \int u_{x} d y$ となります。右辺を $y$ で偏微分すると $- u_{y y} - u_{xx} = 0$ なので、右辺は $y$ を含みません。だから $φ (x)$ を $x$ の積分で決められます。調和という条件は、まさにこの $φ$ が決まるために必要なのです。

こうして得た $v$ を $u$ の共役調和関数といいます。 $v$ には実数の定数 $C$ の分だけ自由が残ります（ $f$ に $i C$ を足しても実部は変わりません）。この $C$ を $f (0)$ などの条件で決めます。最後に $u + i v$ を $z = x + i y$ の式にまとめます。 $y = 0$ とおいた $f (x)$ の $x$ を $z$ に置きかえれば候補が作れます。ただし途中の計算に誤りがあっても候補は作れてしまうので、候補を展開して本当に $u + i v$ に一致するか確かめるのが確実です。

手順

調和の条件を求める： $u_{xx}$ と $u_{y y}$ を計算し、 $u_{xx} + u_{y y} = 0$ がすべての $(x, y)$ で成り立つように係数を決める（恒等式として係数を比較する）。
$v_{y} = u_{x}$ を $y$ で積分する： $v = \int u_{x} d y + φ (x)$ 。積分定数は $x$ の関数 $φ (x)$ とする。
$v_{x} = - u_{y}$ に代入して $φ^{'} (x)$ を求め、 $x$ で積分して $φ (x) = (式) + C$ （ $C$ は実数の定数）とする。
$f = u + i v$ を $z = x + i y$ の式にまとめる： $y = 0$ とおいた式の $x$ を $z$ に置きかえて候補を作り、それを展開して $u + i v$ に一致することを確かめる。
$f (0)$ などの条件から $C$ を決め、求める値を計算する。

例題

$u (x, y) = x^{3} + a x y^{2} + y$ （ $a$ は実数の定数）が調和関数となるように $a$ を定めよ。さらに、 $u$ を実部にもつ平面全体で正則な関数 $f (z) = u + i v$ で $f (0) = i$ を満たすものについて、 $f (1 + i)$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $u_{xx} = 6 x$ 、 $u_{y y} = 2 a x$ なので $u_{xx} + u_{y y} = (6 + 2 a) x$ である。これがすべての $x$ で $0$ になるのは $a = - 3$ のときである。よって $u = x^{3} - 3 x y^{2} + y$ 。
【手順2】 $u_{x} = 3 x^{2} - 3 y^{2}$ なので、 $v_{y} = 3 x^{2} - 3 y^{2}$ を $y$ で積分して $v = 3 x^{2} y - y^{3} + φ (x)$ 。
【手順3】 $v_{x} = 6 x y + φ^{'} (x)$ である。一方、 $u_{y} = - 6 x y + 1$ より $- u_{y} = 6 x y - 1$ 。 $v_{x} = - u_{y}$ から $φ^{'} (x) = - 1$ となり、 $φ (x) = - x + C$ （ $C$ は実数）。したがって $v = 3 x^{2} y - y^{3} - x + C$ 。
【手順4】 $y = 0$ とおくと $f (x) = x^{3} + i (- x + C) = x^{3} - i x + i C$ 。そこで候補を $z^{3} - i z + i C$ とする。確認すると、 $z^{3} = (x^{3} - 3 x y^{2}) + i (3 x^{2} y - y^{3})$ 、 $- i z = - i (x + i y) = y - i x$ である。よって $z^{3} - i z + i C = (x^{3} - 3 x y^{2} + y) + i (3 x^{2} y - y^{3} - x + C) = u + i v$ となり、一致する。
【手順5】 $f (0) = i C = i$ より $C = 1$ なので、 $f (z) = z^{3} - i z + i$ 。 $(1 + i)^{2} = 2 i$ より $(1 + i)^{3} = 2 i (1 + i) = - 2 + 2 i$ 。また $- i (1 + i) = 1 - i$ 。よって $f (1 + i) = (- 2 + 2 i) + (1 - i) + i = - 1 + 2 i$ 。

答え: $- 1 + 2 i$

よくある誤り

$v_{y} = u_{x}$ を $y$ で積分したあと、積分定数を定数 $C$ だけにしてしまう誤り。正しくは $x$ の関数 $φ (x)$ を付ける。例： $u = x^{3} - 3 x y^{2} + y$ では $v = 3 x^{2} y - y^{3} + φ (x)$ とおき、 $v_{x} = - u_{y}$ から $φ (x) = - x + C$ と決まる。
コーシー・リーマンの方程式の符号を逆にして $v_{x} = u_{y}$ としてしまう誤り。正しくは $v_{x} = - u_{y}$ 。例題で $v_{x} = u_{y}$ とすると $6 x y + φ^{'} (x) = - 6 x y + 1$ より $φ^{'} (x) = - 12 x y + 1$ となり、 $x$ だけの関数のはずの $φ^{'} (x)$ に $y$ が残って矛盾する。
調和の条件を、特定の点だけで $u_{xx} + u_{y y} = 0$ になればよいと考える誤り。正しくはすべての $(x, y)$ で成り立つ恒等式として扱う。例題では $(6 + 2 a) x = 0$ がすべての $x$ で成り立つ必要があるので $a = - 3$ となる（ $x = 0$ でだけ成り立てばよいわけではない）。
$y = 0$ とおいた式の $x$ を $z$ に置きかえるだけで済ませ、展開して $u + i v$ と一致するかを確かめない誤り。途中に誤りがあっても、それらしい候補ができてしまう。例：手順3で $φ (x) = - x$ の部分を落として $v = 3 x^{2} y - y^{3} + C$ としたまま $y = 0$ とおくと、候補は $z^{3} + i C$ となり、 $f (0) = i$ から $f = z^{3} + i$ と答えてしまう。しかし展開すると実部は $x^{3} - 3 x y^{2}$ で、 $u$ の項 $y$ が再現されない。正しくは $- i z$ の項を含む $f = z^{3} - i z + i$ で、確認すれば実部 $x^{3} - 3 x y^{2} + y$ が $u$ に一致する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

調和関数と共役調和関数

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