この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

複素関数の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学複素関数

$z = x + i y$ （ $x, y$ は実数）とし、 $u (x, y), v (x, y)$ を実数値関数とする。関数 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ は複素平面全体で正則であり、
$u (x, y) - v (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 x^{2} y - 3 x y^{2} - 2 x - 2 y$
がすべての実数 $x, y$ について成り立つ。さらに $f (0) = 0$ であるとき、 $f (1 + i)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

調和関数と共役調和関数（説明と入口の問題）
正則関数とコーシー・リーマンの方程式（説明と入口の問題）
複素数と 2 次方程式の虚数解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$u - v$ がある正則関数の実部になるように、 $f$ に適当な複素数を掛けた関数を考えよう。

ヒント 2

$(1 + i) f = (u - v) + i (u + v)$ なので、 $F = (1 + i) f$ の実部が $u - v$ である。 $F$ の実部からコーシー・リーマンの方程式で虚部を求める。

ヒント 3

$F$ の虚部は $V = x^{3} + 3 x^{2} y - 3 x y^{2} - y^{3} + 2 x - 2 y + c$ となり、 $F (z) = (1 + i) z^{3} + (- 2 + 2 i) z + i c$ と表せる。あとは $1 + i$ で割って $f (0) = 0$ を使う。

答えと解説

答えを見る

- 4 + 4 i

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

$F (z) = (1 + i) f (z)$ とおく。 $F$ も複素平面全体で正則であり、
$F = (1 + i) (u + i v) = (u - v) + i (u + v)$
なので、 $F = U + iV$ と書くと $U = u - v, V = u + v$ である。したがって $F$ の実部
$U (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 x^{2} y - 3 x y^{2} - 2 x - 2 y$
が分かっている。

$U$ の偏導関数は
$U_{x} = 3 x^{2} - 6 x y - 3 y^{2} - 2, U_{y} = 3 y^{2} - 3 x^{2} - 6 x y - 2.$

コーシー・リーマンの方程式 $U_{x} = V_{y}, U_{y} = - V_{x}$ を用いる。まず $V_{y} = U_{x}$ を $y$ で積分して
$V = 3 x^{2} y - 3 x y^{2} - y^{3} - 2 y + φ (x)$
（ $φ$ は $x$ だけの関数）。これを $x$ で偏微分すると
$V_{x} = 6 x y - 3 y^{2} + φ^{'} (x) .$
一方 $- U_{y} = 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 2$ なので、 $V_{x} = - U_{y}$ より $φ^{'} (x) = 3 x^{2} + 2$ 、すなわち $φ (x) = x^{3} + 2 x + c$ （ $c$ は実定数）。よって
$V = x^{3} + 3 x^{2} y - 3 x y^{2} - y^{3} + 2 x - 2 y + c .$

$F$ を $z$ の式で表す。 $y = 0$ とすると $F (x) = (x^{3} - 2 x) + i (x^{3} + 2 x + c) = (1 + i) x^{3} + (- 2 + 2 i) x + i c$ であり、 $U, V$ は $x, y$ の多項式であるから
$F (z) = (1 + i) z^{3} + (- 2 + 2 i) z + i c$
（実際、この右辺の実部・虚部を計算すると上の $U, V$ に一致する）。

したがって
$f (z) = \frac{F ( z )}{1 + i} = z^{3} + \frac{- 2 + 2 i}{1 + i} z + \frac{i c}{1 + i} .$
ここで $\frac{- 2 + 2 i}{1 + i} = \frac{( - 2 + 2 i ) ( 1 - i )}{2} = \frac{4 i}{2} = 2 i$ 。条件 $f (0) = 0$ より $\frac{i c}{1 + i} = 0$ 、すなわち $c = 0$ 。よって
$f (z) = z^{3} + 2 i z .$

最後に $(1 + i)^{2} = 2 i$ より $(1 + i)^{3} = 2 i (1 + i) = - 2 + 2 i$ 、また $2 i (1 + i) = - 2 + 2 i$ だから
$f (1 + i) = (- 2 + 2 i) + (- 2 + 2 i) = - 4 + 4 i .$

別解

$g (z) = (1 + i) f (z)$ とおくと、 $g$ も正則で、 $Re g = u - v$ である。

与えられた式は $Re g = x^{3} + y^{3} - 3 x^{2} y - 3 x y^{2} - 2 x - 2 y$ となる。

$Re ((1 + i) z^{3}) = Re z^{3} - Im z^{3} = (x^{3} - 3 x y^{2}) - (3 x^{2} y - y^{3}) = x^{3} + y^{3} - 3 x^{2} y - 3 x y^{2}$ である。

また $Re ((- 2 + 2 i) z) = - 2 x - 2 y$ である。

よって $g (z) = (1 + i) z^{3} + (- 2 + 2 i) z + i c$ （ $c$ は実数）と書ける。これは、実部が同じ正則関数の差が純虚数の定数になること（コーシー・リーマンの関係式）による。

$f (0) = 0$ より $g (0) = 0$ なので $c = 0$ となる。

したがって $f (z) = \frac{( 1 + i ) z ^{3} + ( - 2 + 2 i ) z}{1 + i} = z^{3} + \frac{- 2 + 2 i}{1 + i} z$ である。

ここで $\frac{- 2 + 2 i}{1 + i} = \frac{( - 2 + 2 i ) ( 1 - i )}{2} = \frac{- 2 + 2 i + 2 i + 2}{2} = 2 i$ なので、 $f (z) = z^{3} + 2 i z$ となる。

$(1 + i)^{2} = 2 i$ 、 $(1 + i)^{3} = 2 i (1 + i) = - 2 + 2 i$ だから、
$f (1 + i) = (- 2 + 2 i) + 2 i (1 + i) = - 2 + 2 i + 2 i - 2 = - 4 + 4 i$ である。

検算: $z = 1 + i$ のとき $x = y = 1$ である。 $f = - 4 + 4 i$ より $u = - 4$ 、 $v = 4$ なので $u - v = - 8$ となる。一方、右辺は $1 + 1 - 3 - 3 - 2 - 2 = - 8$ で一致する。

複素関数の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題