複素関数の問題

$a$ の決定. 正則関数 $f=u+iv$ の実部はコーシー・リーマンの方程式 $u_x=v_y$, $u_y=-v_x$ から調和関数になる（$u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0$）。
$$u_{xx}=6x,u_{yy}=2ax$$
なので $u_{xx}+u_{yy}=(6+2a)x=0$ がすべての $x$ で成り立つことから $a=-3$。よって
$$u=x^3-3x{y}^2+2xy+x.$$

虚部 $v$ を求める. コーシー・リーマンの方程式より
$$v_y=u_x=3x^2-3y^2+2y+1,v_x=-u_y=-(-6xy+2x)=6xy-2x.$$
1 つ目を $y$ で積分すると
$$v=3x^{2}y-y^3+y^2+y+\phi (x).$$
これを $x$ で微分して 2 つ目と比べると $6xy+{\phi }^{\prime }(x)=6xy-2x$、よって ${\phi }^{\prime }(x)=-2x$、$\phi (x)=-x^2+C$（$C$ は実数の定数）。したがって
$$v=3x^{2}y-y^3+y^2-x^2+y+C.$$

定数の決定. $f(0)=u(0,0)+iv(0,0)=iC=i$ より $C=1$。

（$z$ の式で書くと $f(z)=z^3-i{z}^2+z+i$ である。実際 $\mathrm{Re}(z^3)=x^3-3x{y}^2$, $\mathrm{Re}(-i{z}^2)=\mathrm{Im}(z^2)=2xy$, $\mathrm{Re}z=x$。）

値の計算. $x=y=1$ を代入して
$$u(1,1)=1-3+2+1=1,v(1,1)=3-1+1-1+1+1=4.$$
$z$ の式でも $(1+i{)}^2=2i$, $(1+i{)}^3=-2+2i$ より
$$f(1+i)=(-2+2i)-i\cdot 2i+(1+i)+i=(-2+2i)+2+1+2i=1+4i.$$

よって $f(1+i)=1+4i$。

$u$ が正則関数の実部ならば調和関数。$u_{xx}=6x$、$u_{yy}=2ax$ より $\Delta u=(6+2a)x=0$ がすべての $x$ で成り立つ条件から $a=-3$。このとき $u=x^3-3x{y}^2+2xy+x$。\n\n$x^3-3x{y}^2=\mathrm{Re}{z}^3$、$2xy=\mathrm{Re}(-i{z}^2)$（$-i{z}^2=2xy-i(x^2-y^2)$）、$x=\mathrm{Re}z$。よって $f(z)=z^3-i{z}^2+z+ic$（$c$ は実定数）。$f(0)=ic=i$ より $c=1$。$f(z)=z^3-i{z}^2+z+i$。\n\n$z=1+i$: $z^2=2i$、$z^3=2i(1+i)=-2+2i$、$-i{z}^2=-i\cdot 2i=2$。$f(1+i)=(-2+2i)+2+(1+i)+i=1+4i$。\n\n検算: $\mathrm{Re}f(1+i)=1$ は $u(1,1)=1-3+2+1=1$ と一致。コーシー・リーマン: $u_x=3x^2-3y^2+2y+1$、$v=\mathrm{Im}f=3x^{2}y-y^3-(x^2-y^2)+y+1$ として $v_y=3x^2-3y^2+2y+1=u_x$ ✓。$v(1,1)=3-1-0+1+1=4$ ✓。