複素関数の問題

手順1：$u$ が調和関数となる条件から $a$ を決める。
正則関数の実部は調和関数なので、$u_{xx}+u_{yy}=0$ が成り立つ。
$$u_x=2x,u_{xx}=2,u_y=2ay-4,u_{yy}=2a$$
よって $2+2a=0$ より $a=-1$ である。このとき $u=x^2-y^2-4y$ となる。

手順2：コーシー・リーマンの方程式を積分して共役調和関数 $v$ を求める。
$f=u+iv$ とおくと、コーシー・リーマンの方程式は $u_x=v_y,u_y=-v_x$ である。

まず $v_y=u_x=2x$ を $y$ について積分すると
$$v=2xy+g(x)$$
（$g(x)$ は $x$ だけの関数）となる。

次に $v_x=2y+g^{\prime }(x)$ であり、$v_x=-u_y=-(-2y-4)=2y+4$ だから
$$2y+g^{\prime }(x)=2y+4\text{より}{g}^{\prime }(x)=4$$
よって $g(x)=4x+C$（$C$ は実数の定数）となり、
$$v=2xy+4x+C$$

手順3：条件 $f(0)=3i$ から定数を決め、$f(z)$ を $z$ で表す。
$f(0)=u(0,0)+iv(0,0)=0+iC$ であり、これが $3i$ に等しいので $C=3$ である。
$$f=(x^2-y^2-4y)+i(2xy+4x+3)$$
ここで $z^2=x^2-y^2+2ixy$、$4iz=4ix-4y$ だから
$$f(z)=z^2+4iz+3i$$
と表せる。

手順4：値を求める。
$$f(1+i)=(1+i{)}^2+4i(1+i)+3i=2i+4i-4+3i=-4+9i$$

（確認：$x=1,y=1$ を直接代入すると $u=1-1-4=-4$、$v=2+4+3=9$ となり一致する。）

$u$ は正則関数の実部なので調和関数でなければならない。$u_{xx}+u_{yy}=2+2a=0$ より $a=-1$。よって $u=x^2-y^2-4y$。

コーシー・リーマンの関係式から虚部 $v$ を求める。$u_x=2x=v_y$ より $v=2xy+g(x)$。$u_y=-2y-4=-v_x=-2y-g^{\prime }(x)$ より $g^{\prime }(x)=4$ なので $g(x)=4x+C$。したがって $v=2xy+4x+C$。

$f(z)=z^2+4iz+iC$ と書ける。実際、$z^2=x^2-y^2+2ixy$、$4iz=4ix-4y$ より、実部は $x^2-y^2-4y$、虚部は $2xy+4x$ となり一致する。

$f(0)=iC=3i$ より $C=3$。よって $f(z)=z^2+4iz+3i$。

$f(1+i)=(1+i{)}^2+4i(1+i)+3i=2i+(4i-4)+3i=-4+9i$。

検算：$(x,y)=(1,1)$ で $u=1-1-4=-4$ であり、$f(1+i)$ の実部と一致する。虚部は $2xy+4x+3=2+4+3=9$ で、これも一致する。