正則関数とコーシー・リーマンの方程式

$f = u + i v$ について $u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$ を使って正則となる係数の条件を求め、 $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ から導関数の値を求められる

前提

偏微分と全微分（大学数学微分積分）
複素数の相等（数学II 複素数と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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複素数の相等（数学II 複素数と方程式）

説明

複素関数 $f (z)$ を $z = x + i y$ （ $x, y$ は実数）とおいて $f = u (x, y) + i v (x, y)$ （ $u, v$ は実数値）と実部・虚部に分けると、 $f$ が複素数の意味で微分できるかどうかを、 $u, v$ の偏微分だけで判定できます。その判定式がコーシー・リーマンの方程式 $u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$ です。これを使うと、係数を含む関数が正則になる条件を求められます。また、導関数の値も $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ で計算できます。

なぜそうしてよいのか

$f$ が点 $z$ で複素微分可能であるとは、複素数 $h \neq = 0$ をどの方向から $0$ に近づけても、極限 $f^{'} (z) = lim_{h \to 0} \frac{f ( z + h ) - f ( z )}{h}$ が同じ値に存在することです。開集合（たとえば複素平面全体）のすべての点で複素微分可能なとき、 $f$ はそこで正則であるといいます。極限がどの方向でも同じ値になるので、特に次の 2 方向で計算した値も一致するはずです。 $h = t$ （実数）のときは $\frac{f ( z + t ) - f ( z )}{t} \to u_{x} + i v_{x}$ となります。 $h = i t$ （純虚数）のときは $\frac{f ( z + i t ) - f ( z )}{i t} \to \frac{u _{y} + i v _{y}}{i} = v_{y} - i u_{y}$ となります。

この 2 つは等しいので、 $u_{x} + i v_{x} = v_{y} - i u_{y}$ です。 $u_{x}, v_{x}, u_{y}, v_{y}$ はすべて実数なので、複素数の相等により実部どうし・虚部どうしを比べて $u_{x} = v_{y}$ , $v_{x} = - u_{y}$ が得られます。これがコーシー・リーマンの方程式で、同時に $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ もわかります。

逆向きも成り立ちます。 $u, v$ の偏導関数が存在して連続であり、コーシー・リーマンの方程式を満たすとします。 $h = Δ x + i Δ y$ とおくと、全微分により $Δ u = u_{x} Δ x + u_{y} Δ y + (∣ h ∣ より速く 0 に近づく項)$ が成り立ち、 $Δ v$ も同様です。ここに $u_{y} = - v_{x}$ , $v_{y} = u_{x}$ を代入すると、 $Δ u + i Δ v = (u_{x} + i v_{x}) (Δ x + i Δ y) + (∣ h ∣ より速く 0 に近づく項)$ となります。両辺を $h$ で割って $h \to 0$ とすれば、 $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ が存在します。つまり、偏導関数が連続という条件のもとでは、コーシー・リーマンの方程式が各点で成り立つことと正則であることは同じです。

手順

$z = x + i y$ を代入して $f = u (x, y) + i v (x, y)$ と実部 $u$ ・虚部 $v$ に分ける。
4 つの偏導関数 $u_{x}, u_{y}, v_{x}, v_{y}$ を計算する（多項式なら偏導関数は連続になる）。
$u_{x} = v_{y}$ と $u_{y} = - v_{x}$ が、考えている領域のすべての $(x, y)$ で恒等的に成り立つように係数を決める（ $x, y$ の各項の係数を比較する）。
決めた係数を代入し、導関数 $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ を $x, y$ の式で表す（ $f^{'} (z) = v_{y} - i u_{y}$ でもよい）。
求めたい点 $z = x_{0} + i y_{0}$ の $x_{0}, y_{0}$ を代入して値を出す。

例題

実数の定数 $a, b$ に対し、 $z = x + i y$ （ $x, y$ は実数）の関数を $f (z) = (x^{2} + a y^{2} + x) + i (b x y + y)$ と定める。 $f$ が複素平面全体で正則となるように $a, b$ を定めたとき、 $f^{'} (1 + 2 i)$ の値を求めよ。

例題の解答

手順1: $u = x^{2} + a y^{2} + x$ , $v = b x y + y$ である。
手順2: $u_{x} = 2 x + 1$ , $u_{y} = 2 a y$ , $v_{x} = b y$ , $v_{y} = b x + 1$ である。これらは多項式なので連続である。
手順3: $u_{x} = v_{y}$ より、 $2 x + 1 = b x + 1$ がすべての $x$ で成り立つ。よって $b = 2$ である。 $u_{y} = - v_{x}$ より、 $2 a y = - b y = - 2 y$ がすべての $y$ で成り立つ。よって $a = - 1$ である。このとき偏導関数は連続でコーシー・リーマンの方程式が全平面で成り立つので、 $f$ は正則である（実際 $f = z^{2} + z$ になっている）。
手順4: $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x} = (2 x + 1) + 2 y i$ である。
手順5: $z = 1 + 2 i$ なので $x = 1, y = 2$ を代入すると、 $f^{'} (1 + 2 i) = 3 + 4 i$ となる（確認: $f^{'} (z) = 2 z + 1 = 2 (1 + 2 i) + 1 = 3 + 4 i$ ）。

答え: $3 + 4 i$

よくある誤り

2 本目の式の符号を落として $u_{y} = v_{x}$ としてしまう誤り。正しくは $u_{y} = - v_{x}$ である。例題でこの誤りをすると $2 a y = 2 y$ から $a = 1$ となるが、正しくは $a = - 1$ である。
導関数を $f^{'} (z) = u_{x} + i u_{y}$ としてしまう誤り。正しくは $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ （または $v_{y} - i u_{y}$ ）である。例題では $u_{x} + i u_{y} = 3 - 4 i$ となって答えがずれる。
条件が恒等的に成り立つ必要があることを忘れ、 $2 a y = - b y$ から「 $y = 0$ 」と点を決めてしまう誤り。正則になるには領域内のすべての点で成り立つ必要があるので、係数を比較して $2 a = - b$ とする。
1 点でコーシー・リーマンの方程式が成り立てば正則だと考えてしまう誤り。たとえば $f = x^{2} + y^{2}$ （ $u = x^{2} + y^{2}, v = 0$ ）では、方程式が成り立つのは $(0, 0)$ だけである。このとき $f$ は原点で複素微分可能だが、原点のまわりの開集合で微分可能ではないので、正則ではない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

調和関数と共役調和関数（大学数学複素関数）
複素線積分とコーシーの積分定理（大学数学複素関数）