複素関数の問題

$u,v$ は $x,y$ の多項式なので、平面全体で $C^1$ 級（全微分可能）である。このとき、$f$ が点 $z=x+iy$ で複素微分可能であることは、その点でコーシー・リーマンの方程式
$$u_x=v_y,u_y=-v_x$$
が成り立つことと同値である。

偏導関数を計算すると
$$u_x=2x+2y+4,u_y=2x+6y,v_x=4y+6,v_y=4x-4y+2.$$

$u_x=v_y$ より $2x+2y+4=4x-4y+2$、すなわち
$$x-3y=1(1)$$
$u_y=-v_x$ より $2x+6y=-4y-6$、すなわち
$$x+5y=-3(2)$$
$(2)-(1)$ より $8y=-4$ なので $y=-\frac{1}{2}$、$(1)$ より $x=1+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}$。

よって複素微分可能な点は $z_0=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$ のただ 1 点である。

この点での微分係数は $f^{\prime }(z_0)=u_x+i{v}_x$ で与えられるから
$$u_x=2\left(-\frac{1}{2}\right)+2\left(-\frac{1}{2}\right)+4=2,v_x=4\left(-\frac{1}{2}\right)+6=4$$
より
$$f^{\prime }(z_0)=2+4i.$$
（検算：$f^{\prime }(z_0)=v_y-i{u}_y$ でも $v_y=2,u_y=-4$ から $2+4i$ となり一致する。）

コーシー・リーマンの関係式 $u_x=v_y,u_y=-v_x$ を調べる。

偏導関数は $u_x=2x+2y+4,u_y=2x+6y,v_x=4y+6,v_y=4x-4y+2$。

$u_x=v_y$ より $2x+2y+4=4x-4y+2$、すなわち $x=3y+1$。
$u_y=-v_x$ より $2x+6y=-4y-6$、すなわち $x=-5y-3$。

2 式から $3y+1=-5y-3$ なので $y=-\frac{1}{2}$、$x=-\frac{1}{2}$。よって $z_0=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$。
$u,v$ は多項式なので全微分可能であり、この点でコーシー・リーマンの関係式が成り立つから、$f$ は $z_0$ で複素微分可能。

$f^{\prime }(z_0)=u_x+i{v}_x=(-1-1+4)+i(-2+6)=2+4i$。

検算：$v_y=-2+2+2=2=u_x$、$u_y=-1-3=-4=-v_x$ で、ともに成り立つ。