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複素関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学複素関数

$a$ を実数の定数とし、 $z = x + i y$ （ $x, y$ は実数）とする。実数値関数
$u (x, y) = x^{2} + a y^{2} - 4 y$
が調和関数（ $u_{xx} + u_{y y} = 0$ ）となるように $a$ を定める。このとき、 $u$ を実部にもち、複素平面全体で正則な関数 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ （ $v$ は実数値関数）のうち、 $f (0) = 3 i$ を満たすものについて、 $f (1 + i)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

調和関数と共役調和関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「調和関数と共役調和関数」を使います。まず $u_{xx} + u_{y y} = 0$ から $a$ を決め、次にコーシー・リーマンの方程式を積分して $v$ を求めます。

ヒント 2

$v_{y} = u_{x}$ を $y$ で積分して $v = (\dots) + g (x)$ とおき、 $u_{y} = - v_{x}$ に代入して $g (x)$ を決めます。

ヒント 3

$a = - 1$ なので $u = x^{2} - y^{2} - 4 y$ 、 $v = 2 x y + 4 x + C$ となります。 $z^{2}$ と $4 i z$ の実部・虚部と比べると、 $f (z)$ を $z$ の式で表せます。

答えと解説

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- 4 + 9 i

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解説を読む

手順1：調和関数となる条件から $a$ を求める。

$u_{x} = 2 x, u_{xx} = 2$ 、 $u_{y} = 2 a y - 4, u_{y y} = 2 a$ なので
$u_{xx} + u_{y y} = 2 + 2 a = 0$
となる。よって $a = - 1$ であり、 $u (x, y) = x^{2} - y^{2} - 4 y$ である。

手順2：コーシー・リーマンの方程式 $u_{x} = v_{y}$ を $y$ で積分する。

$v_{y} = u_{x} = 2 x$ である。これを $y$ で積分すると、 $x$ だけの関数 $g (x)$ を用いて
$v = 2 x y + g (x)$
と表せる。

手順3：もう一つの式 $u_{y} = - v_{x}$ で $g (x)$ を決める。

$v_{x} = 2 y + g^{'} (x)$ である。 $u_{y} = - 2 y - 4$ なので、 $u_{y} = - v_{x}$ より
$- 2 y - 4 = - (2 y + g^{'} (x))$
となる。これを整理すると $g^{'} (x) = 4$ となり、 $g (x) = 4 x + C$ （ $C$ は実数の定数）である。したがって
$v (x, y) = 2 x y + 4 x + C$
である。

手順4： $f (z)$ を $z$ の式で表す。

$f = (x^{2} - y^{2} - 4 y) + i (2 x y + 4 x + C)$
である。ここで $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 x y i$ 、 $4 i z = 4 i (x + i y) = - 4 y + 4 x i$ なので
$f (z) = z^{2} + 4 i z + i C$
と表せる。

手順5：条件 $f (0) = 3 i$ から $C$ を決める。

$f (0) = i C = 3 i$ より $C = 3$ である。よって
$f (z) = z^{2} + 4 i z + 3 i$
となる。

手順6： $f (1 + i)$ を計算する。

$(1 + i)^{2} = 2 i$ 、 $4 i (1 + i) = - 4 + 4 i$ なので
$f (1 + i) = 2 i + (- 4 + 4 i) + 3 i = - 4 + 9 i$
となる。

（確認： $u (1, 1) = 1 - 1 - 4 = - 4$ 、 $v (1, 1) = 2 + 4 + 3 = 9$ であり、結果と一致する。）

答え： $f (1 + i) = - 4 + 9 i$

別解

$u_{xx} + u_{y y} = 2 + 2 a = 0$ より $a = - 1$ 。このとき $u = x^{2} - y^{2} - 4 y$ 。
コーシー・リーマンの関係式 $v_{y} = u_{x} = 2 x$ , $v_{x} = - u_{y} = 2 y + 4$ より、 $v = 2 x y + 4 x + c$ （ $c$ は実数定数）。
$f (0) = u (0, 0) + i v (0, 0) = i c = 3 i$ より $c = 3$ 。
よって $f (z) = z^{2} + 4 i z + 3 i$ 。実際、 $z^{2}$ の実部は $x^{2} - y^{2}$ 、 $4 i z = 4 i x - 4 y$ の実部は $- 4 y$ で、 $u$ と一致する。
$f (1 + i) = (1 + i)^{2} + 4 i (1 + i) + 3 i = 2 i + (4 i - 4) + 3 i = - 4 + 9 i$ 。
検算： $x = y = 1$ で $u = 1 - 1 - 4 = - 4$ 、 $v = 2 + 4 + 3 = 9$ となり一致する。

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