複素解析・リーマン面の問題

$T$ の形

$a\in H$ を一つ固定すると、$S(z)=\frac{z-a}{z-\bar{a}}$ は $H$ を $\mathbb{D}$ に写す正則な全単射である。実際、$z$ が実軸上にあれば $z$ から $a$ と $\bar{a}$ までの距離は等しいので $|S(z)|=1$、$z\in H$ なら $z$ は $\bar{a}$ より $a$ に近いので $|S(z)|<1$ であり、$S$ は一次分数変換なので $\hat{\mathbb{C}}$ の全単射である。

$T$ が条件を満たすとき、$T\circ S^{-1}:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ は $0$ を $0$ に写す正則な全単射なので、シュワルツの補題より回転 $w\mapsto e^{i\theta }w$ である。よって $a=1+i$ として
$$T(z)=e^{i\theta }\frac{z-(1+i)}{z-(1-i)}(\theta \in \mathbb{R})$$
と書ける。

$\theta$ の決定

$\frac{d}{dz}\frac{z-a}{z-\bar{a}}=\frac{(z-\bar{a})-(z-a)}{(z-\bar{a}{)}^2}=\frac{a-\bar{a}}{(z-\bar{a}{)}^2}$ より
$$T^{\prime }(a)=e^{i\theta }\frac{a-\bar{a}}{(a-\bar{a}{)}^2}=\frac{e^{i\theta }}{a-\bar{a}}=\frac{e^{i\theta }}{2i}.$$
これが正の実数となるのは $e^{i\theta }=i$ のときに限る（このとき $T^{\prime }(a)=\frac{1}{2}$）。したがって
$$T(z)=i\frac{z-1-i}{z-1+i}.$$

$T(2i)$ の計算

$$T(2i)=i\frac{2i-1-i}{2i-1+i}=i\frac{-1+i}{-1+3i}=\frac{-1-i}{-1+3i}.$$
分母を実数化すると
$$\frac{(-1-i)(-1-3i)}{(-1+3i)(-1-3i)}=\frac{1+3i+i+3i^2}{10}=\frac{-2+4i}{10}=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i.$$
（確かに $\left|-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\right|=\frac{1}{\sqrt{5}}<1$ である。）

$H\to \mathbb{D}$ の正則な全単射は、$a\in H$ を $0$ に送るものとして $T(z)=e^{i\theta }\frac{z-a}{z-\bar{a}}$ の形に書ける。$a=1+i$ より $T(z)=e^{i\theta }\frac{z-1-i}{z-1+i}$。
$T^{\prime }(a)=e^{i\theta }\frac{1}{a-\bar{a}}=\frac{e^{i\theta }}{2i}$ が正の実数になる条件から $e^{i\theta }=i$。よって $T(z)=i\frac{z-1-i}{z-1+i}$。
$z=2i$ を代入: $\frac{-1+i}{-1+3i}=\frac{(-1+i)(-1-3i)}{10}=\frac{4+2i}{10}$。$i$ を掛けて $T(2i)=\frac{4i-2}{10}=\frac{-1+2i}{5}$。
検算: $|T(2i)|=\sqrt{5}/5<1$ で円板内。$T(1+i)=0$、$T^{\prime }(1+i)=i/(2i)=1/2>0$ も満たす。