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複素解析・リーマン面の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学複素解析・リーマン面

複素平面の第 1 象限 $Q = {z \in C ∣ Re z > 0, Im z > 0}$ と単位開円板 $D = {w \in C ∣ ∣ w ∣ < 1}$ を考え、 $a = 1 + i$ とする。全単射な正則写像 $φ : Q \to D$ で $φ (a) = 0, φ^{'} (a) > 0$ （ $φ^{'} (a)$ は正の実数）を満たすものはただ 1 つ存在する。 $φ^{'} (a)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

等角写像の合成とリーマン写像（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（77 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

べき関数・一次分数変換を合成して $Q$ を単位円板に移し、回転で正規化する技能を使う。

ヒント 2

$ζ = z^{2}$ で $Q$ は上半平面に移り、 $a$ は $2 i$ に移る。上半平面で $2 i$ を $0$ に移すには $\frac{ζ - 2 i}{ζ + 2 i}$ を使う。

ヒント 3

$ψ (z) = \frac{z ^{2} - 2 i}{z ^{2} + 2 i}$ の $z = a$ での微分係数を連鎖律で計算し、その絶対値と偏角を調べる。

答えと解説

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\frac{2}{2}

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解説を読む

方針. べき関数で第 1 象限を上半平面に広げ、ケーリー型の一次分数変換で上半平面を単位円板に移し、最後に回転で $φ^{'} (a) > 0$ にそろえる。

手順 1: $ζ = z^{2}$ . $z = r e^{i θ}$ $(0 < θ < \frac{π}{2})$ のとき $z^{2} = r^{2} e^{2 i θ}$ $(0 < 2 θ < π)$ なので、 $ζ = z^{2}$ は $Q$ を上半平面 $H = {Im ζ > 0}$ に全単射に移す。 $a = 1 + i$ の像は $b = a^{2} = (1 + i)^{2} = 2 i$ 。

手順 2: $H \to D$ . $b = 2 i$ を $0$ に移す $H \to D$ の全単射は $ω = \frac{ζ - 2 i}{ζ + 2 i}$ （ $ζ = 2 i$ と、その実軸に関する対称点 $- 2 i$ を $0, \infty$ に移す。実軸上では $∣ ζ - 2 i ∣ = ∣ ζ + 2 i ∣$ なので $∣ ω ∣ = 1$ ）。

合成. $ψ (z) = \frac{z ^{2} - 2 i}{z ^{2} + 2 i}$ は $Q \to D$ の全単射で $ψ (a) = 0$ 。連鎖律より
$ψ^{'} (a) = \frac{d ω}{d ζ}_{ζ = 2 i} \cdot 2 a .$
商の微分で $\frac{d ω}{d ζ} = \frac{( ζ + 2 i ) - ( ζ - 2 i )}{( ζ + 2 i ) ^{2}} = \frac{4 i}{( ζ + 2 i ) ^{2}}$ なので、 $ζ = 2 i$ で $\frac{4 i}{( 4 i ) ^{2}} = \frac{4 i}{- 16} = - \frac{i}{4}$ 。よって
$ψ^{'} (a) = - \frac{i}{4} \cdot 2 (1 + i) = \frac{- 2 i + 2}{4} = \frac{1 - i}{2} .$

正規化. $\frac{1 - i}{2} = \frac{2}{2} e^{- iπ /4}$ なので、 $φ (z) = e^{iπ /4} ψ (z)$ とおくと $φ (a) = 0$ かつ $φ^{'} (a) = \frac{2}{2} > 0$ 。 $D$ の回転は $D$ を保つので $φ$ も $Q \to D$ の全単射であり、一意性から求める写像はこれである。

したがって $φ^{'} (a) = \frac{2}{2}$ 。

別解

$ζ = z^{2}$ は $Q$ を上半平面 $H$ の上へ 1 対 1 に写す。 $a = 1 + i$ は $ζ_{0} = a^{2} = 2 i$ に写る。 $H$ から $D$ への全単射な正則写像で $ζ_{0}$ を $0$ に写すものは $w = e^{i θ} \frac{ζ - ζ _{0}}{ζ - ζ _{0}} = e^{i θ} \frac{ζ - 2 i}{ζ + 2 i}$ の形。よって $φ (z) = e^{i θ} \frac{z ^{2} - 2 i}{z ^{2} + 2 i}$ 。

微分: $φ (a) = 0$ なので $φ^{'} (a) = e^{i θ} \cdot \frac{2 a}{a ^{2} + 2 i} = e^{i θ} \cdot \frac{2 ( 1 + i )}{4 i} = e^{i θ} \cdot \frac{( 1 + i ) ( - i )}{2} = e^{i θ} \cdot \frac{1 - i}{2}$ 。 $\frac{1 - i}{2} = \frac{2}{2}$ 。 $φ^{'} (a) > 0$ となるよう $θ$ を定める（ $e^{i θ} = \frac{1 + i}{2}$ ）と $φ^{'} (a) = \frac{2}{2}$ 。

検算: 一般にリーマン写像の $∣ φ^{'} (a) ∣$ は、上半平面で $\frac{1}{2 Im ζ _{0}} \cdot ∣2 a ∣ = \frac{2 2}{4} = \frac{2}{2}$ となり一致する。

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