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複素解析・リーマン面の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学複素解析・リーマン面

リーマン球面 $C = C \cup {\infty}$ 上の一次分数変換 $T$ で、
$T (0) = 1, T (1) = i, T (\infty) = - 1$
を満たすものはただ 1 つ存在する。 $T (1 + i)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

複比と標準領域の間の一次分数変換（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（41 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「複比と標準領域の間の一次分数変換」を使う。一次分数変換は複比を保つので、 $(T (z); 1, i, - 1) = (z; 0, 1, \infty)$ とおいて $T$ を求めよう。

ヒント 2

$z_{3} = \infty$ のとき $(z; 0, 1, \infty) = z$ となる。左辺は $\frac{( w - 1 ) ( i + 1 )}{( w + 1 ) ( i - 1 )}$ で、 $\frac{i - 1}{i + 1} = i$ を使うと簡単になる。

ヒント 3

$\frac{w - 1}{w + 1} = i z$ を $w$ について解くと $T (z) = \frac{1 + i z}{1 - i z}$ 。これに $z = 1 + i$ を代入しよう。

答えと解説

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- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i

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解説を読む

複比で $T$ を決める. 一次分数変換は複比を保つ。複比を
$(z; z_{1}, z_{2}, z_{3}) = \frac{( z - z _{1} ) ( z _{2} - z _{3} )}{( z - z _{3} ) ( z _{2} - z _{1} )}$
と定める（ $z_{3} = \infty$ のときは $\infty$ を含む因子を約して $\frac{z - z _{1}}{z _{2} - z _{1}}$ と読む）。 $w = T (z)$ とすると、3 点の対応 $0 \mapsto 1, 1 \mapsto i, \infty \mapsto - 1$ から
$(w; 1, i, - 1) = (z; 0, 1, \infty) .$

右辺は $\frac{z - 0}{1 - 0} = z$ 。左辺は
$(w; 1, i, - 1) = \frac{( w - 1 ) ( i + 1 )}{( w + 1 ) ( i - 1 )} .$
ここで
$\frac{i - 1}{i + 1} = \frac{( i - 1 ) ( 1 - i )}{( 1 + i ) ( 1 - i )} = \frac{2 i}{2} = i$
なので、等式は
$\frac{w - 1}{w + 1} = i z$
となる。 $w$ について解くと $w - 1 = i z w + i z$ 、 $w (1 - i z) = 1 + i z$ より
$T (z) = \frac{1 + i z}{1 - i z} .$

確かめ. $T (0) = 1$ 、 $T (1) = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{( 1 + i ) ^{2}}{2} = i$ 、 $z \to \infty$ で $T (z) \to \frac{i}{- i} = - 1$ 。条件をすべて満たす。（ $T (z) = - \frac{z - i}{z + i}$ とも書け、ケーリー変換に $- 1$ を掛けたものである。）

$T (1 + i)$ を計算する. $i (1 + i) = i - 1$ なので
$T (1 + i) = \frac{1 + ( i - 1 )}{1 - ( i - 1 )} = \frac{i}{2 - i} = \frac{i ( 2 + i )}{( 2 - i ) ( 2 + i )} = \frac{- 1 + 2 i}{5} .$

よって $T (1 + i) = - \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ 。

別解

$T (z) = \frac{a z + b}{cz + d}$ とおく。 $T (\infty) = \frac{a}{c} = - 1$ より $a = - c$ 。 $T (0) = \frac{b}{d} = 1$ より $b = d$ 。 $c = 1$ と正規化すると $a = - 1$ で $T (z) = \frac{- z + b}{z + b}$ 。
$T (1) = \frac{b - 1}{b + 1} = i$ より $b - 1 = ib + i$ 、 $b (1 - i) = 1 + i$ 、 $b = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{( 1 + i ) ^{2}}{2} = i$ 。
よって $T (z) = \frac{- z + i}{z + i}$ 。

検算: $T (0) = \frac{i}{i} = 1$ 、 $T (1) = \frac{- 1 + i}{1 + i} = \frac{( - 1 + i ) ( 1 - i )}{2} = \frac{- 1 + i + i + 1}{2} = i$ 、 $T (\infty) = - 1$ 。すべて満たす。

$T (1 + i) = \frac{- ( 1 + i ) + i}{( 1 + i ) + i} = \frac{- 1}{1 + 2 i} = \frac{- ( 1 - 2 i )}{5} = \frac{- 1 + 2 i}{5}$ 。

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