複比と標準領域の間の一次分数変換

複比を使って 3 点を指定の 3 点に移す一次分数変換を決め、ケーリー変換 $\frac{z - i}{z + i}$ や円板の自己同型 $e^{i θ} \frac{z - a}{1 - a ˉ z}$ を使って、上半平面・円板どうしを移す写像と、指定した点での値・微分係数を求められる

前提

一次分数変換による円・直線の像（大学院数学複素解析・リーマン面）

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算数中学高校大学大学院

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一次分数変換による円・直線の像（大学院数学複素解析・リーマン面）

説明

一次分数変換 $T (z) = \frac{a z + b}{cz + d}$ （ $a d - b c \neq = 0$ ）は、異なる 3 点の行き先を指定するとただ 1 つに決まります。この技能では、その変換を複比で組み立てる方法と、上半平面 $H = {Im z > 0}$ を単位円板 $D = {∣ w ∣ < 1}$ に移す変換 $e^{i θ} \frac{z - a}{z - a ˉ}$ （ $a \in H$ 。特に $a = i$ , $θ = 0$ のときがケーリー変換 $\frac{z - i}{z + i}$ ）、 $D$ を $D$ に移す変換 $e^{i θ} \frac{z - a}{1 - a ˉ z}$ （ $∣ a ∣ < 1$ ）を使って、「この点を中心に移し、そこでの微分係数を正にする」といった条件を満たす写像を決め、指定した点での値や微分係数を求めます。等角写像で領域を標準の形に直すときの基本の道具です。

なぜそうしてよいのか

ここでは複素数平面に点 $\infty$ を付け加えて考え、 $T (z) = \frac{a z + b}{cz + d}$ は $cz + d = 0$ となる点 $z = - \frac{d}{c}$ を $\infty$ に、 $\infty$ を $\frac{a}{c}$ に移す（ $c = 0$ なら $\infty$ を $\infty$ に移す）と約束します。出発点は、前提の技能でも使う等式 $T (z) - T (w) = \frac{( a d - b c ) ( z - w )}{( cz + d ) ( c w + d )}$ （ $z, w$ も $T (z), T (w)$ も有限のとき）です。

相異なる 3 点 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ と点 $z$ の複比を $(z, z_{1}, z_{2}, z_{3}) = \frac{( z - z _{1} ) ( z _{2} - z _{3} )}{( z - z _{3} ) ( z _{2} - z _{1} )}$ と定めます（流儀により並べ方が違うので、ここではこの定義を使います）。どれかの点が $\infty$ のときは、 $\infty$ を含む因子を分子と分母の両方から落として定義します。例えば $(z, z_{1}, z_{2}, \infty) = \frac{z - z _{1}}{z _{2} - z _{1}}$ 、 $(z, \infty, z_{2}, z_{3}) = \frac{z _{2} - z _{3}}{z - z _{3}}$ 、 $(\infty, z_{1}, z_{2}, z_{3}) = \frac{z _{2} - z _{3}}{z _{2} - z _{1}}$ です。これは、その点を有限の値にして $\infty$ へ近づけたときの極限と一致します（例えば $\frac{z _{2} - z _{3}}{z - z _{3}} \to 1$ $(z_{3} \to \infty)$ ）。 $z$ の関数として見ると複比は一次分数変換で、 $z_{1} \mapsto 0$ , $z_{2} \mapsto 1$ , $z_{3} \mapsto \infty$ と移します。

複比は一次分数変換で変わりません: $(T (z), T (z_{1}), T (z_{2}), T (z_{3})) = (z, z_{1}, z_{2}, z_{3})$ 。現れる点もその像もすべて有限（つまりどの点でも $c z_{k} + d \neq = 0$ で、 $\infty$ も含まない）のときは、各差に上の等式を入れると $a d - b c$ と $(cz + d), (c z_{1} + d), \dots$ の因子が分子と分母で同じ回数ずつ現れて打ち消し合うので成り立ちます。どれかの点が $\infty$ であるか、 $c z_{k} + d = 0$ で像が $\infty$ になる場合は、その点を近くの有限の点に置き換えて等式を使い、両辺が点について連続であることから極限をとって成り立ちます（ $\infty$ を含む因子を落とす定義が極限と一致するので、極限をとった両辺がちょうど定義どおりの複比になります）。

したがって $z_{k} \mapsto w_{k}$ （ $k = 1, 2, 3$ ）となる変換は、 $(w, w_{1}, w_{2}, w_{3}) = (z, z_{1}, z_{2}, z_{3})$ を $w$ について解けば得られます。また、 $0, 1, \infty$ をそれぞれ動かさない一次分数変換は、 $\infty \mapsto \infty$ から $c = 0$ 、 $0 \mapsto 0$ から $b = 0$ 、 $1 \mapsto 1$ から $a = d$ となり恒等写像に限ります。 $z_{k} \mapsto w_{k}$ となる変換が 2 つあれば、一方の逆と他方を合成し、両側を複比の変換ではさむと $0, 1, \infty$ を動かさない変換になるので、変換はただ 1 つです。

$H$ から $D$ への変換は次のように見ます。 $a \in H$ とすると、実軸上の点 $z$ は $a$ と $a ˉ$ から等距離（実軸は線分 $a a ˉ$ の垂直二等分線）なので $\frac{z - a}{z - a ˉ} = 1$ 、 $H$ の点は $a ˉ$ より $a$ に近いので $\frac{z - a}{z - a ˉ} < 1$ です。よって $w = e^{i θ} \frac{z - a}{z - a ˉ}$ は $H$ を $D$ の上へ移し、 $a \mapsto 0$ となります。逆に $H$ を $D$ に移し $a \mapsto 0$ となる一次分数変換は、実軸に関する $a$ の対称点 $a ˉ$ を、単位円に関する $0$ の対称点 $\infty$ に移すので分母は $z - a ˉ$ で、境界が単位円になることから定数倍の絶対値は $1$ です。同様に $∣ z ∣ = 1$ のとき $∣1 - a ˉ z ∣ = ∣ z ˉ - a ˉ ∣ ∣ z ∣ = ∣ z - a ∣$ なので、 $e^{i θ} \frac{z - a}{1 - a ˉ z}$ は単位円を単位円に、 $a$ を $0$ に移し、 $D$ を $D$ に移します。

残る $e^{i θ}$ は微分係数の条件で決めます。上の等式を $z - w$ で割って $w \to z$ とすると $T^{'} (z) = \frac{a d - b c}{( cz + d ) ^{2}}$ （ $cz + d \neq = 0$ ）です。例えば $f (z) = e^{i θ} \frac{z - a}{z - a ˉ}$ なら $f^{'} (a) = \frac{e ^{i θ}}{a - a ˉ} = \frac{e ^{i θ}}{2 i Im a}$ となります。

手順

移す領域と条件（どの点をどこへ、微分係数の条件など）を確認し、使う標準形を選ぶ。3 点の対応なら複比、 $H \to D$ なら $e^{i θ} \frac{z - a}{z - a ˉ}$ 、 $D \to D$ なら $e^{i θ} \frac{z - a}{1 - a ˉ z}$ 。
3 点の対応のときは $(w, w_{1}, w_{2}, w_{3}) = (z, z_{1}, z_{2}, z_{3})$ を立てて $w$ について解く。3 点のうちに $\infty$ があれば、その点を含む因子を分子と分母の両方から落として式を立てる。例: $0, 1, \infty$ を $- 1, 0, 1$ に移すとき、 $z$ 側は $z_{3} = \infty$ の因子 $(z_{2} - z_{3})$ と $(z - z_{3})$ を落として $(z, 0, 1, \infty) = \frac{z - 0}{1 - 0} = z$ 、 $w$ 側は $(w, - 1, 0, 1) = \frac{( w + 1 ) ( 0 - 1 )}{( w - 1 ) ( 0 + 1 )} = - \frac{w + 1}{w - 1}$ 。 $- \frac{w + 1}{w - 1} = z$ を解いて $w = \frac{z - 1}{z + 1}$ （ $0 \mapsto - 1$ , $1 \mapsto 0$ , $\infty \mapsto 1$ を確かめられる）。標準形のときは $0$ に移す点 $a$ を入れる。
$T^{'} (z) = \frac{a d - b c}{( cz + d ) ^{2}}$ で指定点での微分係数を計算し、条件（正の実数など）から $e^{i θ}$ を決める。
決まった写像に指定点を代入して値を求め、指定した点が指定どおりに移るか、境界の点が境界に移るかを確かめる。

例題

一次分数変換 $f$ が上半平面 ${Im z > 0}$ を単位円板 ${∣ w ∣ < 1}$ の上へ移し、 $f (2 i) = 0$ かつ $f^{'} (2 i) > 0$ を満たすとする。 $f (i)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: 上半平面から単位円板への変換で $2 i \mapsto 0$ なので、標準形 $f (z) = e^{i θ} \frac{z - a}{z - a ˉ}$ を使う。

手順 2: $a = 2 i$ , $a ˉ = - 2 i$ より $f (z) = e^{i θ} \frac{z - 2 i}{z + 2 i}$ 。

手順 3: 係数は $e^{i θ} \cdot 1, e^{i θ} \cdot (- 2 i), 1, 2 i$ なので $a d - b c = e^{i θ} (2 i + 2 i) = 4 i e^{i θ}$ 。よって
$f^{'} (2 i) = \frac{4 i e ^{i θ}}{( 2 i + 2 i ) ^{2}} = \frac{4 i e ^{i θ}}{- 16} = \frac{e ^{i θ}}{4 i} .$
これが正の実数になるのは $e^{i θ} = i$ のとき（このとき $f^{'} (2 i) = \frac{1}{4}$ ）。したがって $f (z) = i \frac{z - 2 i}{z + 2 i}$ 。

手順 4: $f (i) = i \cdot \frac{i - 2 i}{i + 2 i} = i \cdot \frac{- i}{3 i} = \frac{1}{3 i} = - \frac{i}{3}$ 。 $∣ f (i) ∣ = \frac{1}{3} < 1$ で、円板の内部に入っている。境界の確認として $f (0) = i \cdot \frac{- 2 i}{2 i} = - i$ は単位円上にある。

答え: $- \frac{i}{3}$

よくある誤り

$H \to D$ の変換の分母を $z + a$ としてしまう誤り。分母は $a$ の共役 $a ˉ$ を使って $z - a ˉ$ にする。 $a = 2 i$ なら $z + 2 i$ で一致するが、 $a = 1 + i$ では正しくは $\frac{z - 1 - i}{z - 1 + i}$ で、 $\frac{z - 1 - i}{z + 1 + i}$ では実軸上の $z = 0$ が $\frac{- 1 - i}{1 + i} = 1$ でも $z = 1$ が $\frac{- i}{2 + i} = \frac{1}{5}$ となり、実軸が単位円に移らない。
円板の自己同型の分母を $1 - a z$ としてしまう誤り。 $a = \frac{i}{2}$ のとき $\frac{z - \frac{i}{2}}{1 - \frac{i}{2} z}$ は $z = i$ を $\frac{i /2}{3/2} = \frac{i}{3}$ に移し、単位円の点が単位円に移らない。正しくは $\frac{z - \frac{i}{2}}{1 + \frac{i}{2} z}$ で、 $z = i$ は $\frac{i /2}{1/2} = i$ に移る。
$e^{i θ}$ を省いて $θ = 0$ としてしまう誤り。例題で $f (z) = \frac{z - 2 i}{z + 2 i}$ とすると $f^{'} (2 i) = \frac{1}{4 i} = - \frac{i}{4}$ は正の実数でなく条件を満たさない。 $f^{'} (a) = \frac{e ^{i θ}}{a - a ˉ}$ から $e^{i θ}$ を決める。
3 点に $\infty$ があるとき、 $\infty$ を含む因子を片方だけ落としたり、 $\infty$ を大きな数のように残して計算してしまう誤り。 $z_{3} = \infty$ なら $(z - z_{3})$ と $(z_{2} - z_{3})$ の両方を落として $(z, z_{1}, z_{2}, \infty) = \frac{z - z _{1}}{z _{2} - z _{1}}$ とする。また複比の並べ方を取り違えて $\frac{( z - z _{1} ) ( z _{2} - z _{3} )}{( z - z _{2} ) ( z _{3} - z _{1} )}$ のように書くと $z_{2}$ が $\infty$ に移ってしまうので、作った変換に 3 点を代入して必ず確かめる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
リーマン球面 $C = C \cup {\infty}$ 上の一次分数変換 $T$ で、
$T (0) = 1, T (1) = i, T (\infty) = - 1$
を満たすものはただ 1 つ存在する。 $T (1 + i)$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

偏心円環の同心円環への写像（大学院数学複素解析・リーマン面）
等角写像の合成とリーマン写像（大学院数学複素解析・リーマン面）
シュワルツの補題と零点の条件（大学院数学複素解析・リーマン面）