シュワルツの補題と零点の条件

$f (D) \subset D$ , $f (0) = 0$ から $∣ f (z) ∣ \leq ∣ z ∣$ , $∣ f^{'} (0) ∣ \leq 1$ を導き、零点 $a_{k}$ を指定されたときは $f (z) = \prod_{k} \frac{z - a _{k}}{1 - a ˉ _{k} z} g (z)$ と分けて、 $∣ f (z_{0}) ∣$ の最大値とそれを与える関数（ブラシュケ積）を求められる

前提

最大値原理（大学院数学複素解析・リーマン面）
複比と標準領域の間の一次分数変換（大学院数学複素解析・リーマン面）

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算数中学高校大学大学院

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一次分数変換による円・直線の像（大学院数学複素解析・リーマン面）
複比と標準領域の間の一次分数変換（大学院数学複素解析・リーマン面）

説明

単位円板 $D = {∣ z ∣ < 1}$ を自分自身の中へ写す正則関数 $f$ は、どれだけ大きな値をとれるかが強く制限されます。シュワルツの補題は、 $f (0) = 0$ のとき $∣ f (z) ∣ \leq ∣ z ∣$ と $∣ f^{'} (0) ∣ \leq 1$ が成り立つことを主張し、等号が（ $0$ 以外の 1 点で $∣ f (z) ∣ = ∣ z ∣$ 、または $∣ f^{'} (0) ∣ = 1$ ）成り立つのは回転 $f (z) = e^{i θ} z$ のときに限ります。さらに $f$ が指定された点 $a_{1}, \dots, a_{n}$ で $0$ になると分かっているときは、零点の分だけ因子 $\frac{z - a _{k}}{1 - a ˉ _{k} z}$ をくくり出すことで、ある点 $z_{0}$ での $∣ f (z_{0}) ∣$ の最大値と、最大値を与える関数（ブラシュケ積）を具体的に求められます。

なぜそうしてよいのか

まず $f (0) = 0$ の場合を考えます。 $f$ を $0$ のまわりでべき級数に展開すると $f (z) = c_{1} z + c_{2} z^{2} + \dots$ で、 $g (z) = f (z) / z$ （ $z \neq = 0$ ）、 $g (0) = c_{1} = f^{'} (0)$ と定めると、 $g (z) = c_{1} + c_{2} z + \dots$ なので $g$ は $z = 0$ も含めて $D$ で正則です。 $0 < r < 1$ を固定すると、円周 $∣ z ∣ = r$ 上では $∣ f (z) ∣ < 1$ なので $∣ g (z) ∣ < 1/ r$ です。閉円板 $∣ z ∣ \leq r$ に最大値原理を使うと、 $∣ z ∣ \leq r$ 全体で $∣ g (z) ∣ \leq 1/ r$ です。 $z$ を固定して $r \to 1$ とすれば $∣ g (z) ∣ \leq 1$ 、すなわち $∣ f (z) ∣ \leq ∣ z ∣$ と $∣ f^{'} (0) ∣ = ∣ g (0) ∣ \leq 1$ が得られます。もし内部のある点で $∣ g ∣ = 1$ となれば、 $∣ g ∣ \leq 1$ の最大値が内部でとられたことになるので、最大値原理（内部で $∣ g ∣$ の最大値をとる正則関数は定数）により $g$ は絶対値 $1$ の定数 $e^{i θ}$ 、つまり $f (z) = e^{i θ} z$ です。

零点が $0$ 以外の点 $a \in D$ にある場合は、円板の自己同型 $φ_{a} (z) = \frac{z - a}{1 - a ˉ z}$ が「 $z$ の代わり」をします。 $φ_{a}$ は分母が $0$ になる点 $1/ a ˉ$ が $∣1/ a ˉ ∣ > 1$ にあるので $D$ を含む範囲で正則で、 $D$ 内の零点は $z = a$ だけ（1 位）、そして $∣ z ∣ = 1$ のとき $∣ z - a ∣ = ∣ z ˉ ∣ ∣ z - a ∣ = ∣1 - a z ˉ ∣ = ∣1 - a ˉ z ∣$ なので $∣ φ_{a} (z) ∣ = 1$ です。零点 $a_{1}, \dots, a_{n}$ （重複度の分だけ繰り返して並べる）に対して $B (z) = \prod_{k = 1}^{n} φ_{a_{k}} (z)$ とおきます。 $g = f / B$ が $D$ で正則になる理由は次のとおりです。 $B$ の $D$ での零点は $a_{k}$ だけなので、それ以外の点では $g$ は正則です。 $a$ が $f$ の重複度 $m$ の零点（並びにちょうど $m$ 回現れる）なら、 $a$ のまわりのテイラー展開で $f (z) = (z - a)^{m} h (z)$ （ $h$ は $a$ の近くで正則）と書け、 $B (z) = φ_{a} (z)^{m} C (z)$ （ $C$ は残りの因子の積で $C (a) \neq = 0$ ）なので、 $a$ の近くで
$\frac{f ( z )}{B ( z )} = \frac{( z - a ) ^{m} h ( z )}{\frac{( z - a ) ^{m}}{( 1 - a ˉ z ) ^{m}} C ( z )} = \frac{( 1 - a ˉ z ) ^{m} h ( z )}{C ( z )}$
となり、右辺は $z = a$ でも正則です。そこで $g (a)$ を右辺の値で定めれば（ $a$ での「穴」を埋めれば）、 $g$ は $D$ 全体で正則です。

次に $∣ g ∣ \leq 1$ を示します。 $max_{k} ∣ a_{k} ∣ < r < 1$ となる $r$ をとると、円周 $∣ z ∣ = r$ 上に $B$ の零点はないので $m_{r} = min_{∣ z ∣ = r} ∣ B (z) ∣ > 0$ で、そこで $∣ g ∣ \leq 1/ m_{r}$ です。最大値原理から $∣ z ∣ \leq r$ 全体で $∣ g ∣ \leq 1/ m_{r}$ 。 $B$ は閉円板で連続で円周上で $∣ B ∣ = 1$ なので、 $r \to 1$ のとき $m_{r} \to 1$ となり、 $∣ g ∣ \leq 1$ が出ます。よって $D$ で $∣ f (z) ∣ \leq ∣ B (z) ∣$ です。 $z_{0}$ が零点 $a_{k}$ のどれでもない（ $B (z_{0}) \neq = 0$ ）とき、 $z_{0}$ で等号 $∣ f (z_{0}) ∣ = ∣ B (z_{0}) ∣$ が成り立つのは $∣ g (z_{0}) ∣ = 1$ のときで、これは $g$ が絶対値 $1$ の定数のとき、すなわち $f = e^{i θ} B$ のときに限ります。 $z_{0}$ が零点のどれかなら $f (z_{0}) = 0$ なので最大値は $0$ で、等号は条件を満たすすべての $f$ で成り立ちます。 $f (0) = 0$ だけの場合は $a = 0$ として $φ_{0} (z) = z$ となり、シュワルツの補題そのものになります。

手順

条件を確認する： $f$ は $D$ で正則で $f (D) \subset D$ （ $∣ f ∣ < 1$ ）であること、指定された零点 $a_{1}, \dots, a_{n} \in D$ を重複度の分だけ書き出す（ $f (0) = 0$ なら $a = 0$ を含める）。 $z_{0}$ が零点のどれかなら最大値は $0$ で、以下は不要
各零点 $a_{k}$ に対して因子 $φ_{a_{k}} (z) = \frac{z - a _{k}}{1 - a ˉ _{k} z}$ を作り、ブラシュケ積 $B (z) = \prod_{k} φ_{a_{k}} (z)$ を書く（ $a_{k} = 0$ の因子は $z$ ）
$f (z) = B (z) g (z)$ と分ける。 $g$ は零点での穴を埋めると $D$ で正則で、 $∣ g (z) ∣ \leq 1$ であることを使って $∣ f (z_{0}) ∣ \leq ∣ B (z_{0}) ∣$ とする（導関数を問われたときは、 $f (0) = 0$ なら $∣ f^{'} (0) ∣ = ∣ g (0) ∣ \leq 1$ など、同じ分解から評価する）
$∣ B (z_{0}) ∣ = \prod_{k} \frac{z _{0} - a _{k}}{1 - a ˉ _{k} z _{0}}$ を計算する。これが $∣ f (z_{0}) ∣$ の最大値
$B (z_{0}) \neq = 0$ のとき、等号は $g \equiv e^{i θ}$ （定数）のときに限るので、最大値を与える関数は $f (z) = e^{i θ} B (z)$ （ $θ$ は実数）と答える

例題

$f$ は単位円板 $D = {z \in C : ∣ z ∣ < 1}$ で正則で $f (D) \subset D$ を満たし、さらに $f (0) = 0$ 、 $f (\frac{1}{2}) = 0$ であるとする。このような $f$ すべてにわたる $f (- \frac{1}{2})$ の最大値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $f$ は $D$ で正則で $∣ f ∣ < 1$ 、指定された零点は $a_{1} = 0$ , $a_{2} = \frac{1}{2}$ である。 $z_{0} = - \frac{1}{2}$ はどちらの零点とも異なる。

【手順 2】ブラシュケ積は
$B (z) = z \cdot \frac{z - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2} z} = \frac{z ( 2 z - 1 )}{2 - z}$
である（ $a_{2} = \frac{1}{2}$ は実数なので $a ˉ_{2} = \frac{1}{2}$ ）。

【手順 3】 $f (z) = B (z) g (z)$ と書くと、 $f (z) = z h_{1} (z)$ , $f (z) = (z - \frac{1}{2}) h_{2} (z)$ （ $h_{1}, h_{2}$ はそれぞれ $0$ , $\frac{1}{2}$ の近くで正則）と書けるので、 $g = f / B$ は $0$ と $\frac{1}{2}$ での穴を埋めて $D$ で正則になる。 $\frac{1}{2} < r < 1$ の円周 $∣ z ∣ = r$ で最大値原理を使い $r \to 1$ とすれば $∣ g (z) ∣ \leq 1$ 。よって $f (- \frac{1}{2}) \leq B (- \frac{1}{2})$ 。

【手順 4】
$B (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2} \cdot ( - \frac{1}{2} )} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5} .$

【手順 5】 $B (- \frac{1}{2}) \neq = 0$ なので、等号は $g$ が絶対値 $1$ の定数のときに成り立ち、 $f (z) = e^{i θ} \frac{z ( 2 z - 1 )}{2 - z}$ （ $θ$ は実数）のとき $f (- \frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$ となる。この $f$ は $D$ を含む範囲で正則で円周上で絶対値 $1$ 、定数でないので最大値原理から $D$ で $∣ f ∣ < 1$ であり、 $f (0) = f (\frac{1}{2}) = 0$ も満たす。

したがって最大値は $\frac{2}{5}$ 。

答え: $\frac{2}{5}$

よくある誤り

$f (0) = 0$ だけを使って $∣ f (- \frac{1}{2}) ∣ \leq \frac{1}{2}$ を最大値としてしまう誤り。もう一つの零点 $\frac{1}{2}$ の情報を使っていない。正しくは零点ごとに因子をくくり出し、 $∣ f (- \frac{1}{2}) ∣ \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$ とする
零点 $a$ の因子を $\frac{z - a}{1 - a z}$ や $z - a$ としてしまう誤り。 $z - a$ だけでは円周上で絶対値が $1$ にならず、 $\frac{z - a}{1 - a z}$ は $a$ が実数でないと円周上で絶対値 $1$ にならない（ $a = \frac{i}{2}$ , $z = i$ なら $\frac{i /2}{3/2} = \frac{1}{3}$ ）。正しくは共役をとった $\frac{z - a}{1 - a ˉ z}$ で、 $∣ z ∣ = 1$ のとき $∣1 - a ˉ z ∣ = ∣ z - a ∣$ となる
重複度のある零点（例えば $f$ が $0$ で 2 位の零点をもつ）を 1 回しか数えない誤り。正しくは重複度の分だけ因子を掛け、2 位の零点なら $f (z) = z^{2} h (z)$ から $∣ f (z) ∣ \leq ∣ z ∣^{2}$ と評価する
最大値を与える関数を $B (z)$ の 1 つだけと答えたり、 $z_{0}$ が零点のときにも $f = e^{i θ} B$ に限ると答えたりする誤り。 $B (z_{0}) \neq = 0$ なら等号は $g$ が絶対値 $1$ の任意の定数のときに成り立つので $f (z) = e^{i θ} B (z)$ （ $θ \in R$ ）の全体であり、 $z_{0}$ が零点なら最大値は $0$ で、条件を満たすすべての $f$ が最大値を与える

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$D = {z \in C ∣ ∣ z ∣ < 1}$ とする。 $D$ 上で正則で、すべての $z \in D$ に対して $∣ f (z) ∣ < 1$ を満たし、さらに
$f (0) = 0, f (\frac{i}{2}) = 0$
を満たす関数 $f$ を考える。このような $f$ すべてにわたる $f (\frac{1}{2})$ の最大値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

シュワルツ・ピックの補題（大学院数学複素解析・リーマン面）