シュワルツ・ピックの補題

補題の導出。 $a\in \mathbb{D}$ に対し ${\phi }_a(z)=\frac{z-a}{1-\bar{a}z}$ とおきます。これは $\mathbb{D}$ から $\mathbb{D}$ への全単射な正則写像で、${\phi }_a(a)=0$、逆写像は ${\phi }_{-a}$ です。$f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ を正則とし、$w\in \mathbb{D}$ を固定して $F={\phi }_{f(w)}\circ f\circ {\phi }_{-w}$ を作ると、$F$ は $\mathbb{D}$ を $\mathbb{D}$ に写し、$F(0)={\phi }_{f(w)}(f(w))=0$ です。シュワルツの補題から $|F(u)|\le |u|$ で、$u={\phi }_w(z)$ を代入すると $|{\phi }_{f(w)}(f(z))|\le |{\phi }_w(z)|$、これがシュワルツ・ピックの補題です。「円板の自己同型で両側を原点に動かしてからシュワルツの補題を使う」のが要点です。

$f^{\prime }(0)=c$ の条件を $g$ の値に直す。 $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=c$ とし、$z_0\in \mathbb{D}$, $r=|z_0|>0$ とします。シュワルツの補題の証明と同じく $g(z)=f(z)/z$（$g(0)=f^{\prime }(0)$）は $\mathbb{D}$ で正則で $|g|\le 1$, $g(0)=c$ です。$|c|<1$ なら、$|g|$ が内部で値 $1$ をとると最大値原理により $g$ は絶対値 $1$ の定数となり $|g(0)|<1$ に矛盾するので、$g(\mathbb{D})\subset \mathbb{D}$ です。$g$ にシュワルツ・ピックの補題を $w=0$ で使うと $|{\phi }_c(g(z_0))|\le r$、つまり $g(z_0)$ は閉円板 $\{|u|\le r\}$ の ${\phi }_{-c}$ による像 $\Delta$ に入ります。

$\Delta$ の中での $|\zeta |$ の最大値。 まず $0\le c<1$（実数）とします。${\phi }_{-c}(u)=\frac{u+c}{1+cu}$ は実数係数の一次分数変換で、極 $-1/c$ は $|u|\le r$ の外にあるので、円 $|u|=r$ の像は円で、$\Delta$ はその円で囲まれた閉円板です。${\phi }_{-c}(\bar{u})=\overline{{\phi }_{-c}(u)}$ なので像の円は実軸に関して対称、したがって中心 $m$ は実軸上にあり、実軸との交点 $A={\phi }_{-c}(r)=\frac{r+c}{1+cr}$, $B={\phi }_{-c}(-r)=\frac{c-r}{1-cr}$ が直径の両端です（$u$ が実数 $⟺{\phi }_{-c}(u)$ が実数）。中心 $m$, 半径 $\rho$ の閉円板の中で原点から最も遠い点は $m$ と同じ側の直径の端点で、その距離は $|m|+\rho =\max (|A|,|B|)$ です。ここで
$$A-B=\frac{2r(1-c^2)}{1-c^2{r}^2}\ge 0,A+B=\frac{2c(1-r^2)}{1-c^2{r}^2}\ge 0$$
なので $A\ge |B|$、よって $|g(z_0)|\le A=\frac{r+c}{1+cr}$ です。一般の $c=|c|e^{i\alpha }$ では $G=e^{-i\alpha }g$ が $G(\mathbb{D})\subset \mathbb{D}$, $G(0)=|c|$, $|G(z_0)|=|g(z_0)|$ を満たすので同じ評価が使え、
$$|f(z_0)|=r|g(z_0)|\le r\cdot \frac{r+|c|}{1+|c|r}$$
です。

等号。 $g(z)={\phi }_{-c}(\lambda z)=\frac{\lambda z+c}{1+\bar{c}\lambda z}$（$|\lambda |=1$）は $\mathbb{D}$ の自己同型なので $f=zg$ は $f(\mathbb{D})\subset \mathbb{D}$, $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=g(0)=c$ を満たします。$c$ が正の実数なら $\lambda =r/z_0=|z_0|/z_0$ とすれば $\lambda z_0=r$ で $g(z_0)={\phi }_{-c}(r)=\frac{r+c}{1+cr}$。一般の $c=|c|e^{i\alpha }$ なら $\lambda z_0=r{e}^{i\alpha }$ となる $\lambda =r{e}^{i\alpha }/z_0$ をとれば $g(z_0)=\frac{e^{i\alpha }(r+|c|)}{1+|c|r}$ です。いずれも等号が成り立つので、上限は最大値として達成されます。