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複素解析・リーマン面の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学複素解析・リーマン面

$D = {z \in C ∣ ∣ z ∣ < 1}$ とする。 $D$ 上の正則関数 $f$ で、すべての $z \in D$ に対して $∣ f (z) ∣ < 1$ を満たし、さらに
$f (\frac{3}{4}) = 0, f^{'} (\frac{3}{4}) = 0$
を満たすもの全体を $F$ とする。
$M = f \in F sup ∣ f^{'} (0) ∣$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

シュワルツの補題と零点の条件（説明と入口の問題）
シュワルツ・ピックの補題（説明と入口の問題）
最大値原理（説明と入口の問題）
複比と標準領域の間の一次分数変換（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（84 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$f$ の $z = 3/4$ における $2$ 位の零点を、ブラシュケ因子 $B (z) = (\frac{z - 3/4}{1 - 3 z /4})^{2}$ で割り出して $f = B g$ と書き、 $∣ g ∣ \leq 1$ を最大値原理で示しましょう。

ヒント 2

$f^{'} (0) = B^{'} (0) g (0) + B (0) g^{'} (0)$ とシュワルツ–ピックの補題 $∣ g^{'} (0) ∣ \leq 1 - ∣ g (0) ∣^{2}$ を組み合わせます。 $B (0)$ と $B^{'} (0)$ を計算しましょう。

ヒント 3

$B (0) = \frac{9}{16}$ 、 $B^{'} (0) = - \frac{21}{32}$ なので $∣ f^{'} (0) ∣ \leq \frac{21}{32} t + \frac{9}{16} (1 - t^{2})$ （ $t = ∣ g (0) ∣ \in [0, 1]$ ）。この右辺を $t$ について最大化し、等号が成り立つ $g$ を自己同型として構成します。

答えと解説

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\frac{193}{256}

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解説を読む

1. 零点の分離. $a = \frac{3}{4}$ 、 $φ (z) = \frac{z - a}{1 - a z}$ とおき、 $B (z) = φ (z)^{2}$ とする。 $f$ は $z = a$ で $2$ 位以上の零点をもち、 $B$ は $z = a$ でちょうど $2$ 位の零点をもち、他に零点をもたない。よって $g = f / B$ は $D$ 上正則である。

2. $∣ g ∣ \leq 1$ の確認. $∣ z ∣ \to 1$ のとき $∣ φ (z) ∣ \to 1$ が一様に成り立つ。 $0 < r < 1$ に対し、 $∣ z ∣ = r$ 上で $∣ g (z) ∣ \leq 1/ min_{∣ z ∣ = r} ∣ B (z) ∣$ である。最大値原理より、この評価は $∣ z ∣ \leq r$ でも成り立つ。 $r \to 1$ とすると $D$ 上で $∣ g ∣ \leq 1$ となる。

3. $g$ の係数の制約. $c = g (0)$ とおく。
- $∣ c ∣ = 1$ のとき、最大値原理より $g \equiv c$ であり、 $g^{'} (0) = 0$ である。
- $∣ c ∣ < 1$ のとき、 $g (D) \subset D$ である。シュワルツ–ピックの補題より $∣ g^{'} (0) ∣ \leq 1 - ∣ c ∣^{2}$ が成り立つ。

どちらの場合も $∣ g^{'} (0) ∣ \leq 1 - ∣ c ∣^{2}$ である。

4. $B$ の値. $φ (0) = - a$ 、 $φ^{'} (0) = 1 - a^{2}$ である。よって
$B (0) = a^{2} = \frac{9}{16}, B^{'} (0) = 2 φ (0) φ^{'} (0) = - 2 a (1 - a^{2}) = - \frac{21}{32}$
となる。

5. 上からの評価. $f^{'} (0) = B^{'} (0) g (0) + B (0) g^{'} (0)$ であるから、 $t = ∣ c ∣ \in [0, 1]$ として
$∣ f^{'} (0) ∣ \leq \frac{21}{32} t + \frac{9}{16} (1 - t^{2}) =: h (t) .$
$h^{'} (t) = \frac{21}{32} - \frac{9}{8} t = 0$ より $t = \frac{7}{12} \in [0, 1]$ である。 $h$ は上に凸なので、ここで最大となる。
$h (\frac{7}{12}) = \frac{21}{32} \cdot \frac{7}{12} + \frac{9}{16} \cdot \frac{95}{144} = \frac{882}{2304} + \frac{855}{2304} = \frac{1737}{2304} = \frac{193}{256} .$

6. 等号の実現. $g (z) = \frac{z - \frac{7}{12}}{1 - \frac{7}{12} z}$ とすると、 $g$ は $D$ の自己同型である。 $g (0) = - \frac{7}{12}$ 、 $g^{'} (0) = 1 - \frac{49}{144} = \frac{95}{144}$ となる。

$f = B g$ とおくと、 $∣ f ∣ < 1$ であり、 $f (\frac{3}{4}) = f^{'} (\frac{3}{4}) = 0$ を満たすので $f \in F$ である。このとき
$f^{'} (0) = (- \frac{21}{32}) (- \frac{7}{12}) + \frac{9}{16} \cdot \frac{95}{144} = \frac{193}{256}$
となり、上界が達成される。

なお $g$ が単位定数の場合は $∣ f^{'} (0) ∣ = \frac{21}{32} < \frac{193}{256}$ である。

以上より $M = \frac{193}{256}$ （最大値として達成される）。

別解

$a = 3/4$ とし、 $B (z) = \frac{z - a}{1 - a z}$ とおく。 $f$ は $a$ で 2 位以上の零点をもつので、 $f = B^{2} g$ と書ける。シュワルツ・ピックの補題より $g$ は $D \to D$ の正則関数で、 $∣ g ∣ \leq 1$ である。逆に、任意の $g : D \to D$ に対して $B^{2} g \in F$ である。

$B (0) = - a$ 、 $B^{'} (0) = 1 - a^{2}$ より、
$f^{'} (0) = 2 B (0) B^{'} (0) g (0) + B (0)^{2} g^{'} (0) = - 2 a (1 - a^{2}) g (0) + a^{2} g^{'} (0)$ 。

$t = ∣ g (0) ∣$ とおくと、シュワルツ・ピックの補題より $∣ g^{'} (0) ∣ \leq 1 - t^{2}$ である。したがって
$∣ f^{'} (0) ∣ \leq 2 a (1 - a^{2}) t + a^{2} (1 - t^{2})$ 。

右辺を $t$ の関数として最大化する。 $t = (1 - a^{2}) / a = 7/12 \in [0, 1]$ で最大となり、最大値は $a^{2} + (1 - a^{2})^{2} = \frac{9}{16} + \frac{49}{256} = \frac{193}{256}$ である。

等号は、 $g$ を円板の自己同型で $g (0) = - 7/12$ （符号は位相をそろえるよう選ぶ）かつ $∣ g^{'} (0) ∣ = 1 - t^{2}$ となるものにとれば成り立つ。このとき $∣ g ∣ < 1$ なので $f \in F$ であり、上限は最大値として達成される。

$M = \frac{193}{256}$ 。

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