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技能一覧 › 大学院数学 複素解析・リーマン面

一次分数変換による円・直線の像

による円・直線の像を、円の上の 3 点の像や対称点の対応から求め、像の円の中心と半径（または直線の方程式）を求められる（例: による の像）

前提

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算数中学高校大学大学院

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説明

を満たす複素数 による関数 を一次分数変換といいます。一次分数変換は円または直線を円または直線に移すので、 が円 や直線の上を動くとき が描く図形を求め、それが円なら中心と半径、直線ならその方程式を答えられるようになります。複素関数で領域を扱いやすい形に移すときや、軌跡の問題で頻繁に使います。

なぜそうしてよいのか

を について解くと、 より 、したがって のとき です（ なので分子と分母が同時に になることはありません）。これを円の条件 に代入して分母を払うと

となり、両辺を整理すると の形（または片側が定数の の形）になります。前提の技能どおり、これは なら円（アポロニウスの円）、 なら垂直二等分線、片側が定数なら円です。直線 から出発しても同様です。つまり「逆変換を代入して、 の形を読む」だけで像が決まります。

どちらになるかの目安もこの式から読めます。 は （分母が になる点）を有限の点に移せません。もとの円がこの点を通れば像は「無限遠に伸びる図形」つまり直線になり、通らなければ像は有限の円になります。

得られた答えは、円の上の 3 点の像で確かめられます。異なる 3 点を通る円・直線はただ 1 つなので、3 点の像が求めた円の上にあれば正しいとわかります。特に が実数で、もとの円の中心が実軸上にあれば、実軸は実軸に移り、円は実軸に関して対称なまま移るので、円と実軸の 2 交点の像が像の円の直径の両端になります。

手順

  1. を確かめ、分母が になる点 がもとの円の上にあるか調べる（あれば像は直線、なければ円）

  2. を について解き、 を求める

  3. もとの図形の式（例: ）に代入し、分母を払って の形にする

  4. なら の垂直二等分線、 なら両辺を 2 乗し を使って展開・平方完成し、中心と半径を求める

  5. もとの円の上の点（実軸との交点など）の像が求めた図形の上にあることを確かめる

例題

一次分数変換 によって、円 は円に移る。その像の円の中心と半径を順に求めよ。

例題の解答

【手順 1】。分母が になる点 は より円 の上にないので、像は円になる。

【手順 2】 より 、。 とすると となり起こらないので で、。

【手順 3】 に代入すると 、すなわち 。 なので、 で、 の形である。

【手順 4】 を で展開すると

整理して 、すなわち 。よって 、つまり 。像は中心 、半径 の円である（ はこの円の上にないので、除く点はない）。

【手順 5】、 で、どちらも を満たす。係数が実数で は実軸に関して対称なので、 と は直径の両端であり、中心 ・半径 と一致する。

したがって中心 、半径 。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること