複素解析・リーマン面の問題

方針. 一次分数変換は円・直線を円・直線にうつす。極 $z=2$ は $C$ の上にない（$|2|=2\ne 1$）ので、$T(C)$ は直線ではなく円になる。円は 3 点で決まるので、$C$ 上の 3 点の像を調べる。

3 点の像. $C$ 上の点 $z=1,-1,i$ をとる。
$$T(1)=\frac{1+2}{1-2}=-3,T(-1)=\frac{-1+2}{-1-2}=-\frac{1}{3}.$$
$$T(i)=\frac{i+2}{i-2}=\frac{(2+i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)}=\frac{-(2+i{)}^2}{5}=\frac{-(3+4i)}{5}=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i.$$

対称性で直径を見つける. $T$ の係数は実数なので、$T(\bar{z})=\overline{T(z)}$ が成り立つ。$C$ は実軸に関して対称だから、像 $T(C)$ も実軸に関して対称であり、その中心は実軸上にある。よって $T(C)$ と実軸の 2 つの交点 $T(1)=-3$ と $T(-1)=-\frac{1}{3}$ は直径の両端である。

したがって中心は両端の中点
$$\alpha =\frac{-3+\left(-\frac{1}{3}\right)}{2}=-\frac{5}{3},$$
半径は
$$r=\frac{1}{2}\left|-\frac{1}{3}-(-3)\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{3}=\frac{4}{3}.$$

3 点目で確かめる. $T(i)$ と $-\frac{5}{3}$ の距離は
$$\left|-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i+\frac{5}{3}\right|=\left|\frac{16}{15}-\frac{12}{15}i\right|=\frac{\sqrt{16^2+12^2}}{15}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$$
となり、$r$ と一致する。

（別解: $w=\frac{z+2}{z-2}$ を $z$ について解くと $z=\frac{2(w+1)}{w-1}$。$|z|=1$ に代入すると $2|w+1|=|w-1|$。$w=u+vi$ とおいて両辺を 2 乗すると $4\{(u+1{)}^2+v^2\}=(u-1{)}^2+v^2$、整理して $u^2+v^2+\frac{10}{3}u+1=0$、すなわち ${\left(u+\frac{5}{3}\right)}^2+v^2=\frac{16}{9}$。）

よって $(\alpha ,r)=\left(-\frac{5}{3},\frac{4}{3}\right)$。

$T(z)=\frac{z+2}{z-2}$ は一次分数変換なので円を円（または直線）に写す。極 $z=2$ は単位円上にないので像は円である。また $T$ は実係数なので像は実軸について対称であり、中心は実軸上にある。

単位円と実軸の交点 $z=1,-1$ の像を求める。
$T(1)=\frac{3}{-1}=-3$、$T(-1)=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$。
中心が実軸上にあり、この 2 点が円と実軸の交点なので、これらを結ぶ線分が直径である。
中心 $\alpha =\frac{-3+(-1/3)}{2}=-\frac{5}{3}$、半径 $r=\frac{-1/3-(-3)}{2}=\frac{4}{3}$。

検算: $z=i$ のとき $T(i)=\frac{i+2}{i-2}=\frac{(i+2)(-i-2)}{(i-2)(-i-2)}=\frac{-3-4i}{5}$。
$|T(i)+\frac{5}{3}|=\left|\frac{16}{15}-\frac{4}{5}i\right|=\frac{\sqrt{256+144}}{15}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$ となり $r$ と一致する。

よって $(\alpha ,r)=\left(-\frac{5}{3},\frac{4}{3}\right)$。