複素解析・リーマン面の問題

逆変換 $w=\frac{z+1}{z-1}$ を $z$ について解くと、$w(z-1)=z+1$ より $z(w-1)=w+1$、すなわち
$$z=\frac{w+1}{w-1}(w\ne 1).$$
$C$ は極 $z=1$ を通らない（$|1|=1\ne 2$）ので、$T(C)$ は直線ではなく円であり、$\infty$ や $w=1$ を含まない。

像の方程式 $z\in C$ $⟺$ $|z|=2$ $⟺$ $\left|\frac{w+1}{w-1}\right|=2$ $⟺$ $|w+1|=2|w-1|$。$w=x+iy$（$x,y$ は実数）とおいて両辺を 2 乗すると
$$(x+1{)}^2+y^2=4\{(x-1{)}^2+y^2\}.$$
展開して整理すると
$$x^2+2x+1+y^2=4x^2-8x+4+4y^2⟺3x^2-10x+3+3y^2=0⟺x^2-\frac{10}{3}x+y^2+1=0.$$
平方完成すると
$${\left(x-\frac{5}{3}\right)}^2+y^2=\frac{25}{9}-1=\frac{16}{9}.$$
よって $T(C)$ は中心 $\frac{5}{3}$、半径 $\frac{4}{3}$ の円（$-1$ と $1$ に関するアポロニウスの円）である。

確認 $C$ 上の点 $z=2$, $z=-2$ の像はそれぞれ $T(2)=3$, $T(-2)=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$。$C$ は実軸に関して対称で $T$ は実係数なので像も実軸に関して対称であり、この 2 点が直径の両端になる。中心 $\frac{3+\frac{1}{3}}{2}=\frac{5}{3}$、半径 $\frac{3-\frac{1}{3}}{2}=\frac{4}{3}$ と一致する。

したがって $(c,\rho )=\left(\frac{5}{3},\frac{4}{3}\right)$。

$T$ は一次分数変換なので円を円（または直線）に写す。$C$ 上の点 $z=1$（$T$ の極）は $C$ 上にないので像は円である。また $C$ は実軸に関して対称で、$T$ は実係数なので像も実軸に関して対称、中心は実軸上にある。

$C$ と実軸の交点 $z=2,-2$ の像:
$T(2)=\frac{3}{1}=3$、$T(-2)=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$。

像の円は実軸上の2点 $\frac{1}{3},3$ を通り、実軸に関して対称なので、この2点を結ぶ線分が直径である。よって
$c=\frac{\frac{1}{3}+3}{2}=\frac{5}{3}$、$\rho =\frac{3-\frac{1}{3}}{2}=\frac{4}{3}$。

検算: $z=2i$ のとき $T(2i)=\frac{2i+1}{2i-1}=\frac{(1+2i)(-1-2i)}{(-1+2i)(-1-2i)}=\frac{-(1+2i{)}^2}{5}=\frac{-(1+4i-4)}{5}=\frac{3-4i}{5}$。${\left|\frac{3-4i}{5}-\frac{5}{3}\right|}^2={\left(\frac{3}{5}-\frac{5}{3}\right)}^2+\frac{16}{25}={\left(-\frac{16}{15}\right)}^2+\frac{16}{25}=\frac{256}{225}+\frac{144}{225}=\frac{400}{225}=\frac{16}{9}={\rho }^2$ ✓。