複素解析・リーマン面の問題

方針. 二つの円 $C_1:|z|=1$, $C_2:|z-3|=1$ の両方に関して互いに対称な 2 点 $p,q$ を求め、$p\mapsto 0$, $q\mapsto \infty$ となる一次分数変換を使う。$p,q$ がどちらの円についても対称なら、像の円はどちらも $0$ と $\infty$ について対称、すなわち原点中心の円になる。

対称点の計算. 対称性から $p,q$ は実軸上にあるとしてよい。円 $|z-c|=r$（$c$ 実数）について実数 $p,q$ が対称であるとは、$p,q$ が $c$ から見て同じ側にあり $(p-c)(q-c)=r^2$ となることである。よって
$$pq=1,(p-3)(q-3)=1.$$
第 2 式を展開して $pq-3(p+q)+9=1$、第 1 式を代入して $p+q=3$。したがって $p,q$ は $t^2-3t+1=0$ の解で
$$p=\frac{3-\sqrt{5}}{2},q=\frac{3+\sqrt{5}}{2}.$$
$p\approx 0.38$, $q\approx 2.62$ はともに正で $0$ の同じ側にあり、ともに $3$ より小さいので $3$ の同じ側にもある。よって条件を満たす。また $p$ は $|z|<1$ の内部、$q$ は $|z-3|<1$ の内部にある。

写像. $S(z)=\frac{z-p}{z-q}$ とおく。円に関する対称点は一次分数変換で像の円に関する対称点に写る（あるいはアポロニウスの円の性質）ので、$C_1$, $C_2$ の上でそれぞれ $|S(z)|=\frac{|z-p|}{|z-q|}$ は一定である。値を実軸上の点で計算する。
- $z=1\in C_1$: $|S(1)|=\frac{1-p}{q-1}=\frac{(\sqrt{5}-1)/2}{(\sqrt{5}+1)/2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}=:r_1$.
- $z=2\in C_2$: $|S(2)|=\frac{2-p}{q-2}=\frac{(1+\sqrt{5})/2}{(\sqrt{5}-1)/2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}=:r_2$.

$S$ は $\hat{\mathbb{C}}$ の同相写像で、$C_1\to \{|w|=r_1\}$, $C_2\to \{|w|=r_2\}$ と写す。$|z|<1$ の内部の点 $p$ は $0$ に、$|z-3|<1$ の内部の点 $q$ は $\infty$ に写るので、$\{|z|<1\}\to \{|w|<r_1\}$, $\{|z-3|<1\}\to \{|w|>r_2\}\cup \{\infty \}$ となり、残りの $D$ は $\{r_1<|w|<r_2\}$ の上へ全単射に写る（確認として $S(\infty )=1$ で $r_1<1<r_2$）。

さらに $T(z)=\frac{1}{r_1}S(z)$ とすれば、$T(D)=\{1<|w|<R\}$ で
$$R=\frac{r_2}{r_1}=\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\frac{(3+\sqrt{5}{)}^2}{4}=\frac{14+6\sqrt{5}}{4}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}.$$

一意性. 円環 $\{1<|w|<R\}$ と $\{1<|w|<R^{\prime }\}$ が双正則同値であるのは $R=R^{\prime }$ のときに限る（円環の等角不変量）ので、$R$ は $D$ によって一意に定まる。

以上より $R=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$。

二つの円 $C_1:|z|=1$, $C_2:|z-3|=1$ の両方に関して互いに鏡像（反転）の関係にある点の組 $p,q$（極限点）を求める。実軸上で考える。$C_1$ に関する $p$ の鏡像は $1/p$、$C_2$ に関する鏡像は $3+\frac{1}{p-3}$。これらが等しいとして $\frac{1}{p}=3+\frac{1}{p-3}$。両辺に $p(p-3)$ をかけて $p-3=3p(p-3)+p=3p^2-8p$、よって $3p^2-9p+3=0$、$p^2-3p+1=0$、$p=\frac{3\mp \sqrt{5}}{2}$。これを $p_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$, $p_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ とおく（$p_1{p}_2=1$ で、確かに互いに $C_1$ の鏡像）。

$T(z)=\frac{z-p_1}{z-p_2}$ とすると、$p_1,p_2$ がそれぞれ $0,\infty$ に写るので $C_1,C_2$ は原点中心の円に写る。
- $C_1$ 上の点 $z=1$: $|T(1)|=\frac{1-p_1}{p_2-1}=\frac{(\sqrt{5}-1)/2}{(\sqrt{5}+1)/2}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
- $C_2$ 上の点 $z=2$: $|T(2)|=\frac{2-p_1}{|2-p_2|}=\frac{(1+\sqrt{5})/2}{(\sqrt{5}-1)/2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$。

$z=\infty$ は $T(\infty )=1$ に写り、$|w|=1$ は $C_1$ の像の内側 $\frac{3-\sqrt{5}}{2}<1<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ にあるので、$D$ は円環 $\frac{3-\sqrt{5}}{2}<|w|<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ に写る。これを $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ で割って（回転・拡大も一次分数変換）$A_R$ にそろえると
$$R=\frac{(3+\sqrt{5})/2}{(3-\sqrt{5})/2}=\frac{(3+\sqrt{5}{)}^2}{4}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}.$$
検算: $\frac{3+\sqrt{5}}{2}={\phi }^2$（$\phi$ は黄金比）なので $R={\phi }^4\approx 6.854$。$\frac{7+3\cdot 2.236}{2}=6.854$ と一致。円環の $R$ は共形不変量（modulus）なので一意。